同じ場所に落とす 2 通りの投げ方

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sin 2\theta$ が決まった値になる $\theta$ は、ふつう $2$ つある。$2\theta$ と $180^{\circ }-2\theta$ が同じ $\sin$ をもつからである。

これは「同じ場所に $2$ 通りの投げ方で落とせる」ことを意味する。低く速く投げるルートと、高く山なりに投げるルートである。

そのうえで、$2$ つの角が $\theta$ と $90^{\circ }-\theta$ の関係にあると分かれば、片方の $\sin$ が他方の $\cos$ になる。この入れ替えが、時間や高さのきれいな関係を生む。

① 投射角。

$$\sin 2\theta =\frac{gR}{v_0^2}=\frac{9.8\times 19.6}{19.6^2}=\frac{9.8}{19.6}=0.5$$

$$2\theta =30^{\circ },150^{\circ }⟹\theta =15^{\circ },75^{\circ }$$

② $2$ つの角の関係。

$$15^{\circ }+75^{\circ }=90^{\circ }$$

一般に、$2{\theta }_1=180^{\circ }-2{\theta }_2$ から

$${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }$$

$2$ つの角は $45^{\circ }$ をはさんで対称である。$45^{\circ }$ のときだけ $2$ つが重なり、そのとき射程が最大になる。

③ 滞空時間。 $T=\frac{2v_0\sin \theta }{g}$ である。

$$T_1=\frac{2\times 19.6\times \sin 15^{\circ }}{9.8}=4\sin 15^{\circ }=1.0\mathrm{s}$$

$$T_2=4\sin 75^{\circ }=3.9\mathrm{s}$$

積をとる。${\theta }_2=90^{\circ }-{\theta }_1$ なので $\sin {\theta }_2=\cos {\theta }_1$ である。

$$T_1{T}_2=\frac{4v_0^2}{g^2}\sin {\theta }_1\cos {\theta }_1=\frac{2v_0^2\sin 2{\theta }_1}{g^2}=\frac{2}{g}\cdot \frac{v_0^2\sin 2{\theta }_1}{g}=\frac{2R}{g}$$

値は $\frac{2\times 19.6}{9.8}=4.0{\mathrm{s}}^2$ で、$1.0\times 3.9\approx 4.0$ ✓ である。

面白いのは、この積が投げ方によらず落下点だけで決まることである。

④ 最高点。 $H=\frac{v_0^2{\sin }^2\theta }{2g}$ である。

$$H_1=\frac{19.6^2{\sin }^{2}15^{\circ }}{19.6}=19.6{\sin }^{2}15^{\circ }=1.3\mathrm{m}$$

$$H_2=19.6{\sin }^{2}75^{\circ }=18\mathrm{m}$$

和をとる。$\sin {\theta }_2=\cos {\theta }_1$ だから

$$H_1+H_2=\frac{v_0^2}{2g}\left({\sin }^2{\theta }_1+{\cos }^2{\theta }_1\right)=\frac{v_0^2}{2g}$$

$$\frac{19.6^2}{19.6}=19.6\mathrm{m}$$

これは真上に投げたときの最高点である。$1.3+18\approx 19.6$ ✓ である。

まとめ 同じ点に届く $2$ つの角は $90^{\circ }$ を分け合う。この対称性から、時間の積と高さの和がきれいな量になる。${\sin }^2+{\cos }^2=1$ が使える形に持ちこむのが決め手である。

発展 — 一歩先へ。 ③ の $T_1{T}_2=\frac{2R}{g}$ は、$2$ つの投げ方を知らなくても $R$ だけで決まる。逆にいえば、$2$ 通りの滞空時間を測れば射程が分かる。

高い角と低い角の使い分けは実際に意味をもつ。低い角は速く着くが、風や高さの誤差に弱い。高い角は時間がかかるが、障害物を越えられる。迫撃砲と大砲の使い分け、バスケットボールのシュートの弾道、テニスのロブとパッシングショットは、すべてこの $2$ ルートの選択である。

なお、空気抵抗を入れると ${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }$ はきれいには成り立たなくなり、最大射程の角も $45^{\circ }$ より小さくなる。真空中の対称性は、抵抗が入ると壊れる。

別解

軌道の式を 2 次方程式として見るルート。 「同じ点に 2 通りで届く」ことは、判別式の立場から見ると解の個数の話である。

軌道の式を $t=\tan \theta$ の $2$ 次方程式にすると

$$\frac{g{x}^2}{2v_0^2}{t}^2-xt+\left(y+\frac{g{x}^2}{2v_0^2}\right)=0$$

落下点は $y=0$、$x=R$ なので

$$\frac{g{R}^2}{2v_0^2}{t}^2-Rt+\frac{g{R}^2}{2v_0^2}=0$$

$1$ 次の項以外の係数が等しいことに注目する。両辺を $\frac{g{R}^2}{2v_0^2}$ で割ると

$$t^2-\frac{2v_0^2}{gR}t+1=0$$

解と係数の関係から

$$t_1{t}_2=1⟹\tan {\theta }_1\tan {\theta }_2=1$$

これは ${\theta }_1+{\theta }_2=90^{\circ }$ と同じことである($\tan {\theta }_2=\frac{1}{\tan {\theta }_1}=\cot {\theta }_1$)。

② がわずか $2$ 行で出た。しかも和のほうも読める。

$$t_1+t_2=\frac{2v_0^2}{gR}$$

値を入れると $\tan 15^{\circ }+\tan 75^{\circ }=\frac{2\times 19.6^2}{9.8\times 19.6}=4$ である。

解と係数の関係を使うと、$2$ つの解を個別に求めずに関係だけが取り出せる。数学の道具が物理の対称性をそのまま言い当てている。