物理 / 平面内の運動

45°投射の到達距離

★ 基礎斜方投射到達距離

問題

地面から、水平とのなす角 $45°$ の向きに速さ $14 m/s$ で小球を投げ出した。落下点までの水平距離を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ 、 $2 = 1.41$ とする。

ヒントを見る

まず 45° で初速度を分解する(水平と鉛直が同じ大きさになる)。あとは b07 と同じ手順。分数のまま計算を進めると √2 が途中で消える。

解答・解説

初速度を 45° で分解すると vx=v₀y=v₀/√2。滞空時間 T=2v₀y/g を出して R=vx T。整理すると R=v₀²/g になる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 手順は b07 と同じ「分解 → 鉛直で滞空時間 → 水平に掛ける」。 $45°$ では水平成分と鉛直成分が等しくなるのが特徴で、計算すると $2$ が消えてきれいな形になる。

① 分解する。

$v_{x} = v_{0 y} = \frac{14}{2} m/s$

② 滞空時間。

$T = \frac{2 v _{0 y}}{g} = \frac{2 \times 14}{2 \times 9.8}$

③ 水平距離。

$R = v_{x} T = \frac{14}{2} \times \frac{2 \times 14}{2 \times 9.8} = \frac{2 \times 1 4 ^{2}}{2 \times 9.8} = \frac{196}{9.8} = 20 m$

45° 投射。R=v₀²/g=196/9.8=20 m

まとめ $45°$ 投射の到達距離は $R = \frac{v _{0}^{2}}{g}$ という最も簡単な形になる。同じ速さなら $45°$ が最も遠くまで飛ぶ(その理由は応用の一般式で扱う)。数値を早めに代入せず、文字のまま約分してから代入すると $2$ の処理で迷わない。

答

$20 m$

数値を先に入れるルート。 $\frac{14}{2} = \frac{14 \times 1.41}{2} = 9.87 \approx 9.9 m/s$ 。

滞空時間 $T = \frac{2 \times 9.9}{9.8} \approx 2.0$ 秒、 $R = 9.9 \times 2.0 \approx 20 m$ 。数値派はこの順でもよいが、途中で丸めるたびに誤差が入る。文字のまま進める本解のほうが、答えがぴったり出る。