横向きの力がはたらく中での投射

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 加速度が $2$ つあるように見えるが、ベクトルとして足せば $1$ つである。

$${\vec{a}}_{\text{合成}}=(a,-g)$$

これを「傾いた重力」だと思えば、あとはふつうの投射の問題である。

ただし地面は水平のままなので、見かけの重力から見ると地面は傾いた斜面になる。斜面への投射で使った「二等分の規則」がそのまま使える。

「新しい重力を作り、そこから見た地面の傾きを読む」という $2$ 段構えが要点である。

① 見かけの重力。

$$g_{\text{見かけ}}=\sqrt{g^2+a^2}=\sqrt{9.8^2+7.35^2}=\sqrt{96.04+54.02}=12.25m/{\mathrm{s}}^2$$

$7.35:9.8:12.25=3:4:5$ になっている。

鉛直からの傾きは

$$\tan \phi =\frac{a}{g}=\frac{7.35}{9.8}=0.75⟹\phi =36.9^{\circ }$$

風下側へ $36.9^{\circ }$ 傾いている。

② $45^{\circ }$ で投げたとき。 鉛直方向は風の影響を受けないので、滞空時間はふつうどおりである。

$$v_y=14\sin 45^{\circ }=9.90m/s,T=\frac{2v_y}{g}=2.02\mathrm{s}$$

水平方向は初速 $v_x$ に加速度 $a$ が加わる等加速度運動である。風下向きに投げると

$$x=v_{x}T+\frac{1}{2}a{T}^2=9.90\times 2.02+\frac{1}{2}\times 7.35\times 4.08=20+15=35\mathrm{m}$$

風上向きに投げると、水平の初速が逆向きになる。

$$x=-20+15=-5\mathrm{m}$$

負なので、いったん風上へ飛んだあと押し戻され、投げた地点より $5\mathrm{m}$ 風下に落ちる。

③ 最大になる角。 見かけの上向きは、鉛直から風上側へ $36.9^{\circ }$ 傾いた向きである。水平から測ると

$$90^{\circ }+36.9^{\circ }=126.9^{\circ }$$

地面(風下向き)は $0^{\circ }$ である。この $2$ つを二等分する向きは

$$\frac{0^{\circ }+126.9^{\circ }}{2}=63.4^{\circ }$$

$45^{\circ }$ より高く投げるのがよい。風に長く押してもらうため、滞空時間を稼ぐほうが得だからである。$\tan 63.4^{\circ }=2$ である。

④ 最大の飛距離。 $\theta =63.4^{\circ }$ で計算する。$\sin \theta =0.894$、$\cos \theta =0.447$ だから

$$v_y=12.52m/s,T=\frac{2\times 12.52}{9.8}=2.56\mathrm{s}$$

$$x=6.26\times 2.56+\frac{1}{2}\times 7.35\times 6.55=16+24=40\mathrm{m}$$

風がないときの最大射程は $\frac{v_0^2}{g}=20\mathrm{m}$ だから、ちょうど $2$ 倍である。

斜面の公式でも確かめられる。見かけの重力から見ると地面は $36.9^{\circ }$ の下り斜面($\sin \alpha =-0.6$)なので

$$R=\frac{v_0^2}{g_{\text{見かけ}}\left(1+\sin \alpha \right)}=\frac{196}{12.25\times 0.4}=40\mathrm{m}✓$$

まとめ 一定の力が加わるなら、重力と合成して「傾いた重力」を作る。すると水平な地面が斜面に変わり、既知の結果がそのまま使える。

発展 — 一歩先へ。 「一様な力を重力に繰りこむ」という手は、荷電粒子の運動でも使う。一様な電場の中に置かれた粒子は、$q\vec{E}$ と $m\vec{g}$ を合成した力を受けるので、傾いた重力のもとでの放物運動をする。

加速する電車の中の振り子が傾いた向きでつり合うのも、同じ見方である。慣性力と重力を合成した「見かけの重力」の向きに、振り子がぶら下がる。

ただし注意がある。この手が使えるのは力が一定のときだけである。空気抵抗のように速度によって変わる力は合成できない。実際の野球やゴルフでは抵抗と揚力が効くので、この計算どおりにはならない。「どこまで理想化してよいか」を意識しておくことが大切である。

別解

成分ごとに計算して微分するルート。 二等分の規則を知らなくても、飛距離を $\theta$ の関数として書いて最大を探せる。

$$T=\frac{2v_0\sin \theta }{g},x(\theta )=v_0\cos \theta \cdot T+\frac{1}{2}a{T}^2$$

$$x(\theta )=\frac{2v_0^2\sin \theta \cos \theta }{g}+\frac{2a{v}_0^2{\sin }^2\theta }{g^2}=\frac{v_0^2}{g}\sin 2\theta +\frac{a{v}_0^2}{g^2}\left(1-\cos 2\theta \right)$$

$2\theta$ の式にまとまった。$\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ の $1$ 次結合なので、合成できる。

$$x(\theta )=\frac{v_0^2}{g}\left[\sin 2\theta -\frac{a}{g}\cos 2\theta \right]+\frac{a{v}_0^2}{g^2}$$

$$=\frac{v_0^2}{g}\sqrt{1+{\left(\frac{a}{g}\right)}^2}\sin \left(2\theta -\phi \right)+\frac{a{v}_0^2}{g^2}\left(\tan \phi =\frac{a}{g}\right)$$

最大は $2\theta -\phi =90^{\circ }$、すなわち

$$\theta =\frac{90^{\circ }+\phi }{2}=\frac{90^{\circ }+36.9^{\circ }}{2}=63.4^{\circ }✓$$

最大値は

$$x_{\max }=\frac{v_0^2}{g}\times 1.25+\frac{7.35\times 196}{96.04}=25+15=40\mathrm{m}✓$$

この形は、斜面の問題で出た $\theta =\frac{90^{\circ }+\alpha }{2}$ とまったく同じである。$\phi$ が斜面の角の役割を果たしている。

計算だけを追っても答えは出るが、最後にこの一致に気づくと「見かけの重力で斜面に帰着していたのだ」と分かる。式が先に真実を教えてくれることもある。