物理 / 平面内の運動

速度が初速と垂直になる瞬間

★★★★ 難関斜方投射ベクトル内積

問題

水平な地面から、水平と $θ$ の角をなす向きに速さ $v_{0} = 19.6 m/s$ でボールを投げ上げる。 $sin θ = 0.80$ 、 $cos θ = 0.60$ とし、空気の抵抗は無視する。重力加速度の大きさを $g = 9.8 m/ s^{2}$ とする。

(1) 投げてから地面に落ちるまでの時間を求めよ。

(2) 飛んでいる途中で、速度の向きが投げ出したときの向きと垂直になる瞬間がある。その時刻を求めよ。

(3) そのときの速さを求めよ。

(4) 投げ出しの角が $4 5^{\circ}$ より小さいと、この瞬間は空中では起こらない。その理由を示せ。

水平な地面から、水平と θ の角をなす向きに投げ上げる

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垂直という条件を、式ではどう書くか。あるいは軸を水平・鉛直から取り直すと、何が単純になるか。出てきた時刻が本当に空中かも確かめること。

解答・解説

方針

速度は時間とともに変わるベクトルである。「垂直」は内積が $0$ という1本の式になる。あるいは初速の向きに軸を取り直すと、その向きの速度成分は $g sin θ$ で一様に減るだけなので、 $0$ になる時刻がすぐ出る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 速度は $(v_{0} cos θ, v_{0} sin θ - g t)$ と、時間とともに向きを変えていく。投げた直後は斜め上、最高点で水平、落ちるときは斜め下 と、向きが連続的に回っていく。

その途中で、初速の向きとちょうど直角になる瞬間がある。直角は「内積が $0$ 」と書けるから、これは $t$ の1次方程式になる。

もう一段うまい見方もある。軸を初速の向きに取り直す と、その向きの速度は重力の成分 $g sin θ$ で一様に減っていくだけである。 $0$ になる時刻を出せば、それがそのまま答えになる。

① 滞空時間。 鉛直方向だけを見ればよい。

$T = \frac{2 v _{0} sin θ}{g} = \frac{2 \times 19.6 \times 0.80}{9.8} = 3.2 s$

② 垂直になる時刻。 初速ベクトルを $v_{0} = (v_{0} cos θ, v_{0} sin θ)$ 、時刻 $t$ の速度を $v = (v_{0} cos θ, v_{0} sin θ - g t)$ とする。垂直の条件は内積が $0$ である。

$v \cdot v_{0} = v_{0}^{2} cos^{2} θ + v_{0} sin θ (v_{0} sin θ - g t) = 0$

$cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ を使うと、いっせいに整理できる。

$v_{0}^{2} - v_{0} g t sin θ = 0 ⟹ t = \frac{v _{0}}{g sin θ}$

数値を入れる。

$t = \frac{19.6}{9.8 \times 0.80} = 2.5 s$

$2.5 < 3.2$ だから、この瞬間は確かに空中で起こる。

重要2つのベクトルが垂直

⟺

内積が

0

。成分を入れれば、垂直という幾何の条件が1本の方程式になる

③ そのときの速さ。 成分を計算する。

$v_{x} = v_{0} cos θ = 19.6 \times 0.60 = 11.76 m/s$

$v_{y} = v_{0} sin θ - g t = 15.68 - 9.8 \times 2.5 = - 8.82 m/s$

$v = 11.7 6^{2} + 8.8 2^{2} = 14.7 m/s$

$11.76 : 8.82 : 14.7 = 4 : 3 : 5$ になっている。文字のままなら

$v = \frac{v _{0} cos θ}{sin θ} = \frac{v _{0}}{tan θ}$

という簡単な形である。

軌道の途中で、速度が初速の向きと直角になる瞬間がある(破線は初速の向きを平行移動したもの)

④ $4 5^{\circ}$ より小さいと起こらない理由。 ②の時刻が滞空時間より短いことが、空中で起こるための条件である。

$\frac{v _{0}}{g sin θ} < \frac{2 v _{0} sin θ}{g}$

両辺に $\frac{g}{v _{0}}$ を掛け、 $sin θ > 0$ を掛けると

$1 < 2 sin^{2} θ ⟹ sin^{2} θ > \frac{1}{2} ⟹ θ > 4 5^{\circ}$

角が浅いと、速度が直角まで回りきる前に地面に着いてしまう。ちょうど $4 5^{\circ}$ のときは、着地のその瞬間 に直角になる。

まとめ 「ベクトルの向きどうしの関係」を問われたら内積を疑う。さらに、軸を都合のよい向きに取り直すと、2次元の問題が2つの1次元の問題に分かれてくれる。

答

(1) $3.2 s$ (2) $t = \frac{v _{0}}{g sin θ} = 2.5 s$ (3) $14.7 m/s$ (4) 垂直になる時刻が滞空時間を超えてしまうから( $sin^{2} θ > \frac{1}{2}$ すなわち $θ > 4 5^{\circ}$ が条件)

別解

軸を初速の向きに取り直すルート。 水平・鉛直にこだわらず、初速の向きを新しい横軸 に取ってみる。縦軸はそれに垂直な向きである。

この座標では、初速は横軸の向きに $v_{0}$ 、縦軸の向きには $0$ である。重力加速度 $g$ は真下を向いているので、新しい軸に分けると

$a_{∥} = - g sin θ, a_{⊥} = - g cos θ$

となる。あとは2つの独立な等加速度運動である。

初速の向きの速度成分は

$v_{∥} = v_{0} - g sin θ \cdot t$

速度が初速と垂直になるとは、この成分が $0$ になること にほかならない。

$t = \frac{v _{0}}{g sin θ} = 2.5 s$

そのときの速度は垂直成分だけになっている。

$∣ v_{⊥} ∣ = g cos θ \cdot t = 9.8 \times 0.60 \times 2.5 = 14.7 m/s$

内積を書かずに、(2) と (3) が2行ずつで出た。しかも「初速の向きの速さが $g sin θ$ で減っていき、やがて尽きる」という筋書きが目に見える。

軸を回すこの手は、斜面がからむ問題でそのまま効く。問題の対称性に軸を合わせる のが、平面の運動を楽にするいちばんの近道である。

ポイント

「垂直」は内積 $0$ 。速度の成分を入れれば $t$ の1次方程式になる
軸を初速の向きに取ると、その向きの速さは $g sin θ$ で一様に減る。 $0$ になる時刻が答え
出てきた時刻が滞空時間より短いかを必ず確かめる。 $θ > 4 5^{\circ}$ でなければ空中では起こらない

よくある間違い

「速度が初速と垂直」を最高点と取り違える。最高点は速度が水平になる瞬間で、別の時刻
初速ベクトルの成分を $(v_{0}, 0)$ と置いてしまう。初速は斜めを向いているので、内積に $cos θ$ と $sin θ$ の両方が入る
浅い角でも同じ式で時刻を出して答えてしまう。滞空時間を超えていたら、その瞬間は地面の下にあり実現しない