空中の 2 物体は必ず出会えるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ つの放物線の交点を求めようとすると、連立方程式が重くなる。

しかし、どちらの物体にはたらく加速度も $g$ で下向き、まったく同じである。だから差をとると消える。

$${\vec{a}}_{\text{相対}}=\vec{g}-\vec{g}=\vec{0}$$

重力が消えた世界では、相対運動は等速直線運動である。「まっすぐ狙えば当たる」ことになる。放物線を追う問題が、直線の問題に変わる。

① 相対加速度。 P の加速度も Q の加速度も、大きさ $g$ の鉛直下向きである。

$${\vec{a}}_{\mathrm{Q}}-{\vec{a}}_{\mathrm{P}}=\vec{0}$$

② 相対運動。 加速度が $0$ なので、相対速度は最初のまま変わらない。P から見ると、Q は最初の相対速度の向きに等速直線運動する。

最初 P は静止しているので、相対速度は Q の初速そのものである。つまり P から見た Q は、投げた向きにまっすぐ、$25m/s$ で近づいてくる。

③ 当たるまでの時間。 AB の距離は

$$\sqrt{24^2+18^2}=\sqrt{576+324}=\sqrt{900}=30\mathrm{m}$$

($3:4:5$ の直角三角形である。)

相対速度は $25m/s$ でまっすぐ縮まるので

$$t=\frac{30}{25}=1.2\mathrm{s}$$

④ 当たる高さ。 P は静かに落とされたので、$1.2$ 秒間の落下距離は

$$\frac{1}{2}g{t}^2=\frac{1}{2}\times 9.8\times 1.44=7.06\mathrm{m}$$

$$18-7.06=10.9\approx 11\mathrm{m}$$

Q の側から確かめる。初速の成分は、$\cos =\frac{24}{30}=0.8$、$\sin =\frac{18}{30}=0.6$ だから

$$u=25\times 0.8=20m/s,w=25\times 0.6=15m/s$$

$$y=15\times 1.2-\frac{1}{2}\times 9.8\times 1.44=18-7.06=10.9\mathrm{m}✓$$

Q が地面に戻るまでの時間は

$$T=\frac{2w}{g}=\frac{30}{9.8}=3.1\mathrm{s}$$

$1.2<3.1$ なので、地面に落ちる前に当たる ✓ である。

まとめ 相対加速度が $0$ になることに気づけば、$2$ つの放物線の問題が「まっすぐ近づく」という直線の問題になる。落下の量が両方で同じだから、相殺されるのである。

発展 — 一歩先へ。 この性質は、猿が落下を始めても命中するというモンキーハンティングと同じ理屈である。あちらは片方が落下だけ、こちらは両方が投射体という違いだけで、根っこは変わらない。

さらに一般に、両方を投げても成り立つ。$2$ つを同時に投げれば、相対運動は等速直線なので、初期位置と初速の向きが一致していれば必ず出会う。

宇宙機のランデブーやミサイルの誘導でも、この「相対位置と相対速度の向きをそろえる」考え方が基本になる。実際の誘導では、相対位置の向きが変わらないように進路を修正する(比例航法)。相対位置の向きが変わらないなら、そのまま進めば必ず衝突するからである。船の航海で「相手の方位が変わらなければ衝突コース」と教わるのも、同じ原理である。

別解

放物線どうしを連立させるルート。 相対運動を使わず、正面から解いても答えは出る。

A を原点にとる。Q の位置は

$$x_{\mathrm{Q}}=ut,y_{\mathrm{Q}}=wt-\frac{1}{2}g{t}^2$$

P の位置は

$$x_{\mathrm{P}}=24,y_{\mathrm{P}}=18-\frac{1}{2}g{t}^2$$

当たる条件は $x_{\mathrm{Q}}=x_{\mathrm{P}}$ かつ $y_{\mathrm{Q}}=y_{\mathrm{P}}$ である。

$$ut=24,wt-\frac{1}{2}g{t}^2=18-\frac{1}{2}g{t}^2$$

第 $2$ 式で $-\frac{1}{2}g{t}^2$ が両辺から消える。これがこの問題の核心で、残るのは

$$wt=18$$

$2$ 式を割り算すると

$$\frac{w}{u}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$$

これは「B の向きに投げる」という条件そのものである。$u^2+w^2=25^2$ と連立して $u=20$、$w=15$、そして $t=\frac{24}{20}=1.2\mathrm{s}$ ✓ である。

このルートでも、鍵になったのは「$-\frac{1}{2}g{t}^2$ が両辺で消える」ことだった。相対運動の立場は、この相殺を最初から見越しているだけである。

計算してから気づくか、気づいてから計算するか。同じ事実を利用しているが、後者のほうが速く、応用も利く。