物理 / 平面内の運動

放物運動の対称性(同じ高さの 2 つの時刻)

★ 基礎斜方投射対称性

問題

初速度の鉛直成分 $19.6 m/s$ で小球を投げ上げた(滞空時間は $4.0$ 秒)。投げてから $1.0$ 秒後と $3.0$ 秒後の高さをそれぞれ求め、比較せよ。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

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2 つの時刻を、最高点の時刻(滞空時間の半分)と見比べてみよう。最高点をはさんでどういう位置関係にあるだろうか。計算で確かめる前に、予想を立ててから代入すると学びが深い。

解答・解説

y=v₀yt−½gt² に t=1.0 と 3.0 を代入する。最高点(t=2.0 秒)を中心に対称な 2 時刻なので、同じ高さになる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 放物運動は最高点を境に時間的にも空間的にも対称である。最高点は $t = 2.0$ 秒。 $1.0$ 秒後と $3.0$ 秒後は、最高点の「 $1.0$ 秒前」と「 $1.0$ 秒後」だから、同じ高さになるはず。それを式で確かめる。

① t=1.0 秒の高さ。

$y_{1} = 19.6 \times 1.0 - 4.9 \times 1. 0^{2} = 19.6 - 4.9 = 14.7 m$

② t=3.0 秒の高さ。

$y_{2} = 19.6 \times 3.0 - 4.9 \times 3. 0^{2} = 58.8 - 44.1 = 14.7 m$

確かに一致した。

y-t グラフ。最高点 t=2.0 s をはさんだ t=1.0 と 3.0 は同じ高さ 14.7 m

まとめ 「同じ高さを通る 2 つの時刻は、最高点の時刻をはさんで対称」。逆に、2 つの時刻 $t_{1}, t_{2}$ で同じ高さなら最高点は $\frac{t _{1} + t _{2}}{2}$ とわかる。この読み替えは標準問題(s06)でそのまま武器になる。

答

どちらも $14.7 m$ で等しい( $\approx 15 m$ )

速さの対称で見るルート。 $t = 1.0$ 秒の鉛直速度は $19.6 - 9.8 = 9.8 m/s$ (上向き)、 $t = 3.0$ 秒では $19.6 - 29.4 = - 9.8 m/s$ (下向き)。大きさが同じで向きが逆である。

同じ高さでは速さも同じ(向きだけ逆)、というのが対称性のもう 1 つの顔で、エネルギー保存とも整合している。高さ・速さ・時刻の 3 点セットで対称性を覚えておくとよい。