剛体のつり合い — 力のモーメント・重心

点 O で固定された軽い棒の、O から $0.30\mathrm{m}$ 離れた点に、棒と垂直に大きさ $20\mathrm{N}$ の力を加えた。この力の、点 O のまわりの力のモーメントの大きさを求めよ。

点 O で固定された長さ $0.60\mathrm{m}$ の軽い棒の先端に、棒とのなす角 $30°$ の向きに大きさ $10\mathrm{N}$ の力を加えた。この力の、点 O のまわりの力のモーメントの大きさを求めよ。

支点 O で支えられた軽い棒がある。O から左に $1.2\mathrm{m}$ の点に重さ $30\mathrm{N}$ のおもりを下げた。O から右に距離 $x$ の点に重さ $20\mathrm{N}$ のおもりを下げて棒を水平につり合わせるには、$x$ をいくらにすればよいか。

長さ $1.0\mathrm{m}$ の軽い棒 AB を、A から $0.40\mathrm{m}$ の点 O で支える。A 端に重さ $30\mathrm{N}$ のおもりを下げたとき、B 端に何 N のおもりを下げれば棒は水平につり合うか。

長さ $2.0\mathrm{m}$ の軽い棒 AB の、A から $0.50\mathrm{m}$ の点に重さ $60\mathrm{N}$ の荷物を下げ、A 端と B 端を 2 人で水平に支えた。A、B それぞれの人が棒に加える力(鉛直上向き)の大きさを求めよ。

長さ $1.6\mathrm{m}$、重さ $40\mathrm{N}$ の一様な棒が床に置いてある。B 端を床につけたまま、A 端を鉛直上向きの力でゆっくり持ち上げる。持ち上げるのに必要な力の大きさを求めよ。

長さ $2.0\mathrm{m}$、重さ $50\mathrm{N}$ の一様な棒 AB の中央に、重さ $20\mathrm{N}$ のおもりを下げ、A 端と B 端を支えて水平に保った。A、B の支える力をそれぞれ求めよ。

棒の 2 点に、大きさがどちらも $12\mathrm{N}$ で互いに逆向きの平行な力を、$0.50\mathrm{m}$ 離して加えた(偶力)。(1) 2 力の合力の大きさを求めよ。(2) この偶力のモーメントの大きさを求めよ。

長さ $1.0\mathrm{m}$ の軽い棒の両端 A、B に、質量 $4.0\mathrm{kg}$ と $6.0\mathrm{kg}$ の小球をそれぞれ取り付けた。この系の重心は A から何 m の位置にあるか。

支点 O で支えられた軽い棒に、O から左 $0.60\mathrm{m}$ の点に $15\mathrm{N}$、左 $0.20\mathrm{m}$ の点に $30\mathrm{N}$ のおもりを下げた。O から右に距離 $x$ の点に $25\mathrm{N}$ のおもりを下げて水平につり合わせたい。$x$ を求めよ。

幅 $0.60\mathrm{m}$、高さ $1.2\mathrm{m}$ の一様な直方体を、水平から $30°$ 傾いたあらい斜面の上に置く(すべらないものとする)。この直方体は倒れるか、倒れないか。理由とともに答えよ。$\sqrt{3}=1.73$ とする。

長さ $1.5\mathrm{m}$ の軽い棒 AB の A 端が、壁にちょうつがいで取り付けられている。B 端には鉛直上向きに張力 $T$ の糸が付けられ、A から $0.50\mathrm{m}$ の点に重さ $30\mathrm{N}$ のおもりが下げられ、棒は水平に静止している。(1) 張力 $T$ (2) ちょうつがいが棒に加える力(鉛直成分)をそれぞれ求めよ。

長さ $2.0\mathrm{m}$、重さ $40\mathrm{N}$ の一様な棒 AB を A 端と B 端で支え、A から $0.50\mathrm{m}$ の点に重さ $60\mathrm{N}$ のおもりを下げて水平に保った。A、B の支える力 $N_A$、$N_B$ をそれぞれ求めよ。

長さ $2.0\mathrm{m}$、重さ $60\mathrm{N}$ の一様な棒を、テーブルの端から水平に張り出して置く。棒の張り出した先端に重さ $20\mathrm{N}$ のおもりを載せるとき、棒が傾かずにいられる張り出しの長さの最大値を求めよ。

長さ $1.2\mathrm{m}$、重さ $30\mathrm{N}$ の一様な棒 AB の A 端が壁にちょうつがいで取り付けられ、B 端と壁の上方を糸で結んで、棒を水平に保った。糸と棒のなす角は $30°$ である。(1) 糸の張力 $T$ (2) ちょうつがいが棒に加える力の水平成分と鉛直成分 をそれぞれ求めよ。$\sqrt{3}=1.73$ とする。

長さ $5.0\mathrm{m}$、重さ $200\mathrm{N}$ の一様なはしごを、なめらかな壁に床と $45°$ をなすように立てかけた。床はあらい。(1) 壁がはしごを押す力 $N_W$ (2) 床の摩擦力 $f$ (3) はしごがすべらないための静止摩擦係数の最小値 をそれぞれ求めよ。

長さ $4.0\mathrm{m}$、重さ $100\mathrm{N}$ の一様なはしごを、なめらかな壁に床と $45°$ をなすように立てかける。重さ $400\mathrm{N}$ の人が、はしごに沿って下端から $3.0\mathrm{m}$ の点まで登った。(1) 壁がはしごを押す力 $N_W$ (2) はしごがすべらないために必要な静止摩擦係数の最小値 をそれぞれ求めよ。

厚さと材質が一様な L 字形の板がある。この板は、縦 $6.0\mathrm{cm}$×横 $2.0\mathrm{cm}$ の長方形(左下の角が原点、縦長)と、縦 $2.0\mathrm{cm}$×横 $4.0\mathrm{cm}$ の長方形(縦長部分の右side、下をそろえて接続)を組み合わせた形である。全体の重心の座標を求めよ。座標は左下の角を原点に、右向きに $x$ 軸、上向きに $y$ 軸をとる。

半径 $2R$ の一様な円板から、中心が円板の中心 O から $R$ だけ離れた半径 $R$ の円をくり抜いた。残った部分の重心は、O からどちら側にどれだけ離れた位置にあるか。また、$R=6.0\mathrm{cm}$ のときの距離を求めよ。

幅 $0.60\mathrm{m}$、高さ $1.5\mathrm{m}$、重さ $100\mathrm{N}$ の一様な直方体が水平な床に置かれている。床との静止摩擦係数は $0.30$ である。直方体の上端に水平な力 $F$ を加え、徐々に大きくしていく。(1) すべり出す $F$ の値 (2) (下端の角のまわりに)倒れ始める $F$ の値 を求め、(3) この物体は先にすべるか、先に倒れるか答えよ。

幅 $0.90\mathrm{m}$、高さ $1.2\mathrm{m}$ の一様な直方体を台の上に置き、台を水平からゆっくり傾けていく。直方体と台の間の静止摩擦係数は $0.80$ である。(1) 倒れ始める傾きの角 ${\theta }_1$ について $\tan {\theta }_1$ を求めよ。(2) すべり出す傾きの角 ${\theta }_2$ について $\tan {\theta }_2$ を求めよ。(3) 傾けていくと、先に起こるのは「倒れる」「すべる」のどちらか。

長さ $1.0\mathrm{m}$、重さ $20\mathrm{N}$ の一様な棒 AB の A 端が壁にちょうつがいで取り付けられ、B 端と壁の上方を糸で結び、棒を水平に保つ。B 端に重さ $40\mathrm{N}$ の荷物を下げた。糸と棒のなす角は $30°$ である。(1) 糸の張力 $T$ (2) ちょうつがいが棒に加える力の水平成分と鉛直成分 をそれぞれ求めよ。$\sqrt{3}=1.73$ とする。

長さ $4.0\mathrm{m}$、重さ $200\mathrm{N}$ の一様な板を、左端の支点 A と、右端から $1.0\mathrm{m}$ 内側の支点 B の 2 点で水平に支えた(板は B から右へ $1.0\mathrm{m}$ 張り出している)。重さ $500\mathrm{N}$ の人が B を越えて張り出し部分を右へ歩いていく。板が傾き始めるのは、B から何 m の点に来たときか。

長さ $2.0\mathrm{m}$、重さ $60\mathrm{N}$ の一様な棒 AB を、A から $0.20\mathrm{m}$ の点 P と、A から $1.4\mathrm{m}$ の点 Q に付けた鉛直な 2 本の糸で吊るし、水平に保った。P、Q の糸の張力 $T_P$、$T_Q$ をそれぞれ求めよ。

重さ $W$ の一様なはしごを、なめらかな壁に床と角 $\theta$ をなすように立てかける。床とはしごの間の静止摩擦係数を $\mu$ とする。(1) 壁がはしごを押す力 $N_W$ を $W$、$\theta$ で表せ。(2) はしごがすべらないための条件を $\tan \theta$ と $\mu$ の関係で表せ。(3) $\mu =0.50$ のとき、立てかけられる最小の角を求めよ。

長さ $5.0\mathrm{m}$、重さ $100\mathrm{N}$ の一様なはしごを、なめらかな壁に床と $45°$ をなすように立てかける。床との静止摩擦係数は $0.50$ である。重さ $500\mathrm{N}$ の人は、はしごに沿って下端から何 m のところまで登れるか。

幅 $0.40\mathrm{m}$、重さ $100\mathrm{N}$ の一様な直方体が水平な床に置かれている。床との静止摩擦係数は $0.25$ である。床から高さ $h$ の点に水平な力を加えて徐々に強くしていく。(1) すべり出すときの力の大きさを求めよ。(2) 高さ $h$ のとき、(下端の角のまわりに)倒れ始める力の大きさを $h$ の式で表せ。(3) 「先にすべる」か「先に倒れる」かの境目となる高さ $h_c$ を求めよ。

長さ $2.0\mathrm{m}$、重さ $200\mathrm{N}$ の一様な天板をもつ机がある。2 本の脚(それぞれ左右)は、天板の両端からそれぞれ $0.25\mathrm{m}$ 内側に付いている。重さ $600\mathrm{N}$ の人が天板の右端(脚より $0.25\mathrm{m}$ 外側)に腰かけた。左の脚は床から浮くか。浮くかどうかの境目であることを、モーメントの計算で示せ。

半径 $0.50\mathrm{m}$、重さ $300\mathrm{N}$ の一様な円柱を、高さ $0.10\mathrm{m}$ の段差に乗り上げさせたい。円柱の軸(中心)に水平な力 $F$ を加えるとき、乗り上げ始めるのに必要な $F$ の最小値を求めよ。

重さ $W$ の一様なはしごを、あらい壁にあらい床から角 $\theta$ で立てかける。床・壁との静止摩擦係数はともに $\mu =0.50$ である。すべる寸前(床・壁とも最大摩擦力がはたらく)のはしごについて、(1) 床の垂直抗力 $N_1$ を $W$ で表せ。(2) 限界の角 ${\theta }_{min}$ について $\tan {\theta }_{min}$ を求めよ。

長さ $0.40\mathrm{m}$、重さ $W$ の一様な板が 2 枚ある。テーブルの端から、下の板・上の板の順に重ねて水平に張り出させ、倒れない範囲で張り出しをできるだけ大きくしたい。(1) 上の板は、下の板の端から最大どれだけ張り出せるか。(2) そのとき下の板は、テーブルの端から最大どれだけ張り出せるか。(3) 上の板の先端は、テーブルの端から最大どれだけ出るか。

長さ $3.0\mathrm{m}$、重さ $400\mathrm{N}$ の一様なブーム(腕)AB の A 端が、支柱の根元にちょうつがいで取り付けられ、水平に保たれている。B 端と支柱の上部をワイヤで結び、ワイヤとブームのなす角は $30°$ である。B 端から重さ $1000\mathrm{N}$ の荷物を吊り下げた。(1) ワイヤの張力 $T$ (2) ちょうつがいが ブームに加える力の水平成分と鉛直成分 をそれぞれ求めよ。$\sqrt{3}=1.73$ とする。

外側の半径が $R=0.20\mathrm{m}$、糸を巻いた内側の軸の半径が $r=0.12\mathrm{m}$ の糸巻きが、水平な床の上に置かれている。糸は内側の軸の 下側 から出ていて、その先を手で引く。糸巻きは床の上をすべらずに転がるものとする。

(1) 糸を水平に引いたとき、糸巻きは手のほうへ転がるか、手から遠ざかるか。床との接触点のまわりのモーメントで判断せよ。

(2) 糸を真上に引いたときはどうか。

(3) 引く向きを水平から少しずつ立てていくと、あるところで糸巻きは転がらなくなる。その角 $\theta$(水平から測る)を求めよ。

(4) (1) のように水平に引くとき、糸を $1.0\mathrm{m}$ 引き込むあいだに糸巻きは何 m 進むか。

長さ $1.0\mathrm{m}$ の一様でない棒を、両手の人さし指を左端と右端に当てて水平に支える。重心 G は左端から $0.30\mathrm{m}$ のところにある。棒と指のあいだの静止摩擦係数を $0.60$、動摩擦係数を $0.30$ とする。

この状態から、2本の指をゆっくり近づけていく。

(1) 最初、左右の指が棒から受ける垂直抗力の比を求めよ。

(2) 先にすべり始めるのはどちらの指か。理由とともに答えよ。

(3) すべる指が入れかわるのは、その指が G からどれだけの距離まで来たときか。

(4) 指を近づけ続けると、2本の指は最後にどこで出会うか。理由とともに答えよ。

同じ2本の棒(それぞれ長さ $2.5\mathrm{m}$、重さ $50\mathrm{N}$)の上端をちょうつがいでつないで脚立を作り、水平でなめらかな床に立てた。2本の足の間隔は $3.0\mathrm{m}$、ちょうつがいの高さは $2.0\mathrm{m}$ である。左右の脚は、床から高さ $0.50\mathrm{m}$ のところを水平なロープでつないである。

いま、重さ $600\mathrm{N}$ の人がちょうつがいの真上に乗った。

(1) 床が片方の足を押す力の大きさを求めよ。

(2) ロープの張力を求めよ。

(3) 人が乗っていないときのロープの張力を求めよ。

(4) ロープを床すれすれ(高さ $0$)に張り直すと、張力はどうなるか。

長さ $6.0\mathrm{m}$ のまっすぐな梁を、両端 A(左)と B(右)で支える。この梁に、左端では $0$、右端では $300N/m$ となるように、位置に比例した荷重が一様に分布してかかっている。梁自身の重さははじめ無視する。

(1) 分布した荷重の合計を求めよ。

(2) この荷重は、どの位置に置いた1つの力で置きかえられるか。

(3) A と B が梁を支える力をそれぞれ求めよ。

(4) 同じ合計の荷重が一様に分布していた場合と比べよ。また、梁自身の重さ $300\mathrm{N}$ を考えに入れると (3) はどう変わるか。

ひじを直角に曲げ、前腕を水平にして手に荷物を持つ。ひじの関節を支点とすると、上腕の筋肉が前腕を引き上げる点は支点から $4.0\mathrm{cm}$、手のひらは支点から $30\mathrm{cm}$ の位置にある。前腕の重さは $20\mathrm{N}$ で、その重心は支点から $15\mathrm{cm}$ の位置にある。手に持つ荷物の重さを $50\mathrm{N}$ とする。

(1) 筋肉が前腕を引き上げる力の大きさを求めよ。

(2) ひじの関節が前腕を押す力の大きさと向きを求めよ。

(3) 荷物を $2$ 倍の $100\mathrm{N}$ にすると、筋肉の力はいくら増えるか。

(4) このように支点のすぐそばを引く仕組みは、力の面では明らかに損である。それでも人体がこの形をしている理由を、筋肉の縮む長さと手の動く距離から説明せよ。

軽い棒と糸で、3段のモビールを作る。全体の重さは $90\mathrm{g}$ 分である。

• いちばん上の棒: 糸でつるした点から左へ $20\mathrm{cm}$ のところにおもり $m_1$、右へ $10\mathrm{cm}$ のところに2段目の棒全体がぶら下がる。
• 2段目の棒: つるした点から左へ $5.0\mathrm{cm}$ におもり $m_2$、右へ $15\mathrm{cm}$ に3段目の棒全体がぶら下がる。
• 3段目の棒: つるした点から左へ $2.0\mathrm{cm}$ におもり $m_4$、右へ $4.0\mathrm{cm}$ におもり $m_5$。

すべての棒が水平につり合っているとする。

(1) $m_1$ と、2段目より下の全体の重さを求めよ。

(2) $m_2$、$m_4$、$m_5$ を求めよ。

(3) $m_5$ だけを $5\mathrm{g}$ 重くしてしまった。3段目の棒のつるす点をどこへ動かせば、3段目は水平に戻るか。

(4) (3) のあと、モビール全体はもとどおりつり合うか。

左右の腕の長さがわずかに違う天秤がある。ある品物の質量を測るのに、次の2回の測定を行った。

• 1回目: 品物を左の皿に、分銅を右の皿に載せてつり合わせると、分銅は $5.0\mathrm{kg}$ だった。
• 2回目: 品物を右の皿に、分銅を左の皿に載せてつり合わせると、分銅は $7.2\mathrm{kg}$ だった。

皿と腕自身の重さは左右で等しく、つり合いに影響しないものとする。

(1) 2回の測定値が違ってしまう理由を述べよ。

(2) 品物の本当の質量を求めよ。

(3) 左右の腕の長さの比を求めよ。

(4) 2回の測定値の平均 $\frac{5.0+7.2}{2}$ を答えとすると、本当の値より大きいか小さいか。理由とともに答えよ。

前輪と後輪の間隔(ホイールベース)が $2.5\mathrm{m}$ の自動車を、水平な床に置いた台ばかりに乗せて測ったところ、前輪にかかる力の合計が $9000\mathrm{N}$、後輪が $6000\mathrm{N}$ であった。

次に、後輪だけをジャッキで $1.5\mathrm{m}$ 持ち上げて車体を傾け、前輪にかかる力をもう一度測ると $11250\mathrm{N}$ になった。前輪は水平な台ばかりの上にあり、車は動かないように止めてある。

(1) 車の重さと、重心の前後方向の位置を求めよ。

(2) 傾けたとき、前輪にかかる力が増えるのはなぜか。

(3) 重心の高さを求めよ。ただし傾きは、$\sin =0.60$、$\cos =0.80$、$\tan =0.75$ の角である。

(4) 左右の車輪の間隔(トレッド)が $1.5\mathrm{m}$ のとき、この車が横向きの坂で横転し始める傾きの $\tan$ を求めよ。重心の高さが $0.80\mathrm{m}$ の車と比べよ。

長さ $L=0.20\mathrm{m}$ の同じ積み木を、机の端から少しずつずらして積み上げる。$1$ 枚も落ちないようにしながら、いちばん上の積み木をできるだけ遠くまで張り出させたい。

上から数えて $k$ 枚目までのまとまりを考えると、その重心が「$k+1$ 枚目の右端」より内側にあれば崩れない。この条件から、上から $k$ 枚目は $(k+1)$ 枚目より $\frac{L}{2k}$ だけ張り出せる。

(1) $2$ 枚のとき、いちばん上の積み木の右端は机の端から最大どれだけ出せるか。$L$ を用いて表せ。

(2) $n$ 枚のときの最大の張り出しを、和の形で表せ。

(3) $4$ 枚のとき、張り出しは積み木 $1$ 枚の長さを超えることを示せ。

(4) $1.0\mathrm{m}$ 張り出させるには何枚必要か。${\log }_{e}n+0.577$ で和を近似してよい(${\log }_e$ は自然対数、$e^{9.42}=1.2\times 10^4$)。

正三角形の頂点に $3$ 本の脚をつけたテーブルがある。天板は軽くて変形しないものとし、脚の位置を A、B、C とする。三角形の $1$ 辺の長さを $1.0\mathrm{m}$、A を原点、B を $(1.0,0)$、C を $\left(0.5,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ とする($\frac{\sqrt{3}}{2}=0.87$)。

天板の上に重さ $W=120\mathrm{N}$ のおもりを置く。

(1) おもりを三角形の重心に置いたとき、各脚が受ける力を求めよ。

(2) おもりを辺 AB の中点に置いたとき、各脚が受ける力を求めよ。

(3) おもりを $\left(0.5,\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$(C 寄り)に置いたときはどうか。

(4) 同じことを $4$ 本脚(正方形の頂点)のテーブルで考えると、各脚の力は決まらない。その理由を、未知数と方程式の数から説明せよ。

天秤のはり(棒)は支点で支えられ、その重心は支点より $h$ だけ下にある。はりの質量は $M$、支点から皿までの腕の長さは左右とも $L$ である。

左右の皿に載せた質量に $\Delta m$ の差があるとき、はりは角 $\theta$ だけ傾いてつり合う。

$M=0.10\mathrm{kg}$、$L=0.20\mathrm{m}$、$h=2.0\times 10^{-3}\mathrm{m}$ とする。

(1) 傾いた状態でのモーメントのつり合いから、$\tan \theta$ を $\Delta m,L,M,h$ で表せ。

(2) $\Delta m=1.0\times 10^{-5}\mathrm{kg}$($10\mathrm{mg}$)のときの傾く角を求めよ。${\tan }^{-1}0.010=0.57^{\circ }$ とする。

(3) 感度(同じ $\Delta m$ に対する傾きの大きさ)を上げるには、$M,L,h$ をどうすればよいか。

(4) 重心を支点と同じ高さ($h=0$)にすると何が起こるか。また支点より上にするとどうなるか。

重さ $W=200\mathrm{N}$、幅 $a=0.80\mathrm{m}$ のドアが、上下 $2$ つの蝶番で壁に取りつけられている。$2$ つの蝶番の間隔は $b=1.6\mathrm{m}$ で、どちらもドアの回転軸の側にある。ドアの重心は中央にあるものとする。

(1) ドアにはたらく力をすべて挙げ、水平方向・鉛直方向・モーメントのつり合いの式を書け。

(2) 上下の蝶番が受ける水平方向の力の大きさを求めよ。それぞれの向きも答えよ。

(3) 蝶番の間隔 $b$ を半分にすると、水平方向の力はどうなるか。

(4) 上の蝶番だけが鉛直方向も支えているとすると、その蝶番が受ける力の大きさはいくらか。

大きさをもつ物体が $3$ つの力だけを受けてつり合っているとする(どの力も $0$ でないものとする)。

(1) $2$ つの力の作用線が $1$ 点 P で交わっているとき、$3$ 番目の力の作用線も P を通ることを示せ。

(2) なめらかな鉛直の壁に、あらい水平な床から長さ $L$ の一様な棒を、床と $60^{\circ }$ の角で立てかける。棒にはたらく $3$ つの力を挙げ、そのうち $2$ つの作用線の交点を求めよ。

(3) (1) の性質を使って、床から棒にはたらく力の向き(水平からの角)を求めよ。${\tan }^{-1}3.46=73.9^{\circ }$ とする。

(4) 棒がすべらないために必要な静止摩擦係数の最小値を求めよ。

半径 $r=0.30\mathrm{m}$ の一様な半円板の重心を求めたい。直径を $x$ 軸、中心を原点とし、半円板は $y\ge 0$ の側にあるとする。

(1) 対称性から、重心の $x$ 座標はいくらか。

(2) $y$ から $y+\Delta y$ の範囲を切り出した細い帯の面積を、$r$ と $y$ で表せ。

(3) 重心の $y$ 座標が $\frac{4r}{3\pi }$ となることを、帯を足し合わせて示せ。値も求めよ。

(4) 同じ半径の「半円の弧」(針金)の重心は $\frac{2r}{\pi }$ である。板と弧のどちらが外側にあるか。理由を述べよ。

質量 $M=1500\mathrm{kg}$ の車が、水平な道を一定の加速度 $a$ で前進している。前輪と後輪の間隔(ホイールベース)は $L=2.5\mathrm{m}$、重心は前後のちょうど中央で、高さは $h=0.50\mathrm{m}$ である。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) 車とともに動く立場では、重心に後ろ向きの慣性力 $Ma$ がはたらくと考えられる。この立場で、前輪と後輪が受ける垂直抗力を $M,g,a,L,h$ で表せ。

(2) $a=4.0m/{\mathrm{s}}^2$ のときの前後の荷重を求めよ。静止時と比べてどれだけ移動したか。

(3) 前輪が浮き上がる加速度を求めよ。重力加速度の何倍か。

(4) $6.0m/{\mathrm{s}}^2$ で減速するときの前後の荷重を求めよ。

重さ $W=400\mathrm{N}$ の箱を、水平な床の上でひもを使って引く。ひもは水平から角 $\theta$ だけ上向きにする。箱と床の動摩擦係数は $\mu =0.75$ で、箱は一定の速さで動いているものとする。

(1) 垂直抗力 $N$ と、必要な力 $F$ を、$W,\mu ,\theta$ を用いて表せ。

(2) $\theta =0$(水平に引く)のときに必要な力を求めよ。

(3) $F$ を最小にする角 $\theta$ を求めよ。${\tan }^{-1}0.75=36.9^{\circ }$ とする。

(4) そのときの $F$ を求め、水平に引く場合と比べよ。