倒れるのが先か、すべるのが先か

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 押されている物体の運命は 2 通り——すべるか倒れるか。それぞれ臨界の $F$ を計算し、小さいほうが先に実現する。すべりは力のつり合い、倒れはモーメントのつり合いの守備範囲である。

① すべり出す F。 鉛直のつり合いより $N=100\mathrm{N}$。

$$F_{すべり}=\mu N=0.30\times 100=30\mathrm{N}$$

② 倒れ始める F。 倒れの支点は、押す向きの先にある下端の角 P。倒れ始める(反対側の床反力が 0 になる)とき、P まわりで

$$F\times 1.5=100\times 0.30⟹F_{倒れ}=\frac{30}{1.5}=20\mathrm{N}$$

(うで: $F$ は高さ $1.5\mathrm{m}$、重力は幅の半分 $0.30\mathrm{m}$。)

③ 比較。 $F_{倒れ}=20<F_{すべり}=30$。よって $F=20\mathrm{N}$ に達した時点で先に倒れる。

まとめ 背の高い物体を上のほうで押すと倒れやすい。もし低い位置を押せば $F_{倒れ}$ のうでが縮んで臨界値が上がり、すべりが先になる——その境目の高さを求めるのが a03 である。

別解

垂直抗力の作用点で見るルート(視点の上級編)。 押す力を強めると、床からの垂直抗力の作用点は押す向きへじわじわ移動して重力とのモーメントを打ち消す。作用点が下端の角まで移動しきったときが転倒の臨界である。

作用点が角 P に来たとき、P まわりのモーメントは $F\times 1.5=100\times 0.30$ で $F=20\mathrm{N}$。「N の作用点の移動」という見方は、輪切りにした足裏の圧力分布のイメージで、転倒現象の本質をよく表す。