押す高さで変わる: すべるか倒れるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 s08 では押す高さが固定されていたが、今度は高さ $h$ が変数。すべりの臨界は $h$ によらず一定、倒れの臨界は $h$ が高いほど小さくなる。この 2 つの限界曲線の交点が「運命の分かれ目」になる。

① すべりの臨界。 $N=100\mathrm{N}$ だから

$$F_{すべり}=\mu N=0.25\times 100=25\mathrm{N}(hによらない)$$

② 倒れの臨界。 下端の角まわりで、$F$ のうでは $h$、重力のうでは幅の半分 $0.20\mathrm{m}$。

$$F\times h=100\times 0.20⟹F_{倒れ}=\frac{20}{h}\mathrm{N}$$

③ 境目の高さ。 2 つの臨界が等しいとき

$$25=\frac{20}{h_c}⟹h_c=0.80\mathrm{m}$$

$h<0.80\mathrm{m}$ で押せば先にすべり($F_{倒れ}$ が $25\mathrm{N}$ より大きい)、$h>0.80\mathrm{m}$ で押せば先に倒れる。

まとめ 家具を動かすとき「低い位置を押せ」と言われるのは、$F_{倒れ}=20/h$ を大きく保って転倒モードを封じるためである。1 つの物体に 2 つの破れ方があり、パラメータで切り替わる——この構造の見抜きが応用問題の core になる。

別解

比の形で一般化するルート。 臨界の等式 $\mu W=\frac{W(b/2)}{h_c}$ から $W$ が消えて

$$h_c=\frac{b}{2\mu }=\frac{0.40}{2\times 0.25}=0.80\mathrm{m}$$

境目は重さによらず、幅と摩擦係数だけで決まる。$\mu$ が小さい(つるつる)ほど $h_c$ が高くなり、どこを押してもすべりやすい——式の依存性から物理を読み取る練習として最適の 1 行である。