三角形に分布した荷重を受ける梁

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 荷重が場所ごとに違うので、そのままでは力が無数にあることになる。しかし モーメントの計算では、分布した荷重を1つの力に置きかえてよい。

置きかえの条件は2つある。合計が等しいこと、そして どの点のまわりでもモーメントが等しいこと である。この2つを満たす置き場所が、荷重の分布の「重心」にあたる。

三角形に分布しているなら、合計は三角形の面積、置き場所は三角形の重心の位置になる。ここまで来れば、あとは両端で支えたふつうの棒の問題である。

① 荷重の合計。 荷重の分布を高さで表すと、底辺 $6.0\mathrm{m}$、高さ $300N/m$ の直角三角形になる。合計はその面積である。

$$F=\frac{1}{2}\times 6.0\times 300=900\mathrm{N}$$

② 置きかえる位置。 三角形の重心は、底辺を $2:1$ に分ける位置、つまり とがったほうの端から $\frac{2}{3}$ の点 にある。左端がとがっているから、左端から

$$\frac{2}{3}\times 6.0=4.0\mathrm{m}$$

右端からは $2.0\mathrm{m}$ である。荷重が大きい右側に寄る、というのは感覚とも合う。

③ 両端の支える力。 ここまで来れば、$900\mathrm{N}$ の荷物が左端から $4.0\mathrm{m}$ の位置に載っているのと同じである。

A のまわりのモーメントのつり合いから

$$R_B\times 6.0=900\times 4.0⟹R_B=600\mathrm{N}$$

鉛直方向のつり合いから

$$R_A=900-600=300\mathrm{N}$$

荷重の重心に近い B が2倍を負担する。これも 距離の逆比 である。

④ 一様な場合と、梁の重さ。 同じ合計 $900\mathrm{N}$ が一様に分布していれば($150N/m$)、置きかえる位置は中央になる。

$$R_A=R_B=450\mathrm{N}$$

合計が同じでも、分布のかたよりが両端の負担を大きく変える ことが分かる。

梁自身の重さ $300\mathrm{N}$ は一様なので、中央に置いた $300\mathrm{N}$ の力と同じである。両端に $150\mathrm{N}$ ずつ足せばよい。

$$R_A=300+150=450\mathrm{N},R_B=600+150=750\mathrm{N}$$

まとめ 分布した力は「面積=合計」「重心=作用点」の2つで1つの力にまとめられる。まとめたあとは、いつもの2点支持の問題に戻る。難しく見える設定を、既に解ける形に翻訳する のがこの問題の骨である。

発展 — 一歩先へ。 三角形の分布は、絵空事ではない。水をせき止める壁が水から受ける力 は、深さに比例する圧力のせいでちょうどこの形になる。だから水門やダムにかかる力の合力は、水面から $\frac{2}{3}$ の深さにはたらく。

ダムの底が分厚く作られているのは、力が下のほうに集中しているからである。分布のかたよりを1つの力にまとめる考え方は、そのまま構造物の設計に使われている。

別解

細かく切って足し上げるルート。 「合計は面積、作用点は重心」を認めずに、素朴に足していっても同じ答えになる。まとめの公式が何をしているかが見える。

梁を $1.0\mathrm{m}$ ずつ6つに切り、それぞれの真ん中での荷重を代表の値として使う。位置 $x$ での荷重は $50x[N/m]$ だから、各区間の荷重は

$$25,75,125,175,225,275[\mathrm{N}]$$

合計は $900\mathrm{N}$ で、①と一致する。

B のまわりのモーメントを考える。各区間の中心から B までの距離は $5.5,4.5,3.5,2.5,1.5,0.5$ である。

$$25\times 5.5+75\times 4.5+125\times 3.5+175\times 2.5+225\times 1.5+275\times 0.5=1800\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$$

$$R_A=\frac{1800}{6.0}=300\mathrm{N}$$

同じ答えが出た。刻みを細かくしても値は変わらない。

このやり方は、分布の形が三角形でも放物線でも、何でも同じ手順で押し通せる のが強みである。重心の位置を覚えていなくても前に進める。公式は、この足し算の結論に名前を付けたものにすぎない。