3 つの力の作用線は 1 点で交わる

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 剛体のつり合いでは、モーメントをどの点のまわりで考えてもよい。だから「都合のよい点」を選べる。

$2$ つの力の作用線の交点を選ぶと、その $2$ 力のモーメントがどちらも $0$ になる。残るのは $3$ 番目の力だけである。

全体のモーメントが $0$ なのだから、$3$ 番目の力のモーメントも $0$。力の大きさが $0$ でないなら、腕の長さが $0$、つまり作用線がその点を通っているしかない。

これが分かると、力の向きが図から読み取れるようになる。

① 証明。 $2$ つの力 $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ の作用線の交点を P とする。P のまわりのモーメントを考えると、$\overrightarrow{F_1}$ も $\overrightarrow{F_2}$ も作用線が P を通るので、腕の長さが $0$ でモーメントは $0$ である。

つり合っているのだから、$3$ つの力のモーメントの和も $0$ である。

$$0+0+(\overrightarrow{F_3}\text{のモーメント})=0$$

したがって $\overrightarrow{F_3}$ のモーメントも $0$ である。$\overrightarrow{F_3}\ne 0$ なので、腕の長さが $0$、つまり $\overrightarrow{F_3}$ の作用線も P を通る。

② 棒にはたらく力。 $3$ つある。

壁からの力(なめらかなので壁に垂直、つまり水平。上端にはたらく)、重力(鉛直下向き、中点にはたらく)、床からの力(垂直抗力と摩擦力の合力。下端にはたらく)。

下端を原点、$60^{\circ }$ の角で立てかけるとすると、上端は $\left(L\cos 60^{\circ },L\sin 60^{\circ }\right)=(0.50L,0.87L)$、重心はその中点 $(0.25L,0.43L)$ である。

壁の力の作用線は上端を通る水平線、つまり $y=0.87L$。重力の作用線は重心を通る鉛直線、つまり $x=0.25L$。交点は

$$\mathrm{P}=(0.25L,0.87L)$$

③ 床の力の向き。 ① より、床からの力の作用線も P を通る。床の力は下端(原点)にはたらくので、その向きは原点と P を結ぶ向きである。

$$\tan \alpha =\frac{0.87L}{0.25L}=3.46⟹\alpha =73.9^{\circ }$$

水平から $73.9^{\circ }$ 傾いた向きである。

④ 摩擦係数。 床の力の水平成分が摩擦力 $f$、鉛直成分が垂直抗力 $N$ である。向きが分かっているので

$$\frac{f}{N}=\frac{0.25L}{0.87L}=0.29$$

すべらないためには $\mu \ge \frac{f}{N}$ が必要だから

$$\mu \ge 0.29$$

文字で書くと $\frac{1}{2\tan 60^{\circ }}$ で、一般には $\mu \ge \frac{1}{2\tan \theta }$ である。角度が小さい(寝かせる)ほど大きな摩擦が要る。

まとめ $3$ 力のつり合いでは作用線が $1$ 点で交わる。この $1$ 点を図に描きこむだけで、力の向きが読み取れる。連立方程式を立てる前に、図で答えの形が見える。

発展 — 一歩先へ。 この定理は「$3$ 力」でしか使えないが、力が $4$ つ以上でも $2$ つずつまとめて $3$ つにできれば適用できる。

たとえば ② で、床からの力を「垂直抗力」と「摩擦力」に分けて $4$ 力として扱うと定理は使えない。合力として $1$ つにまとめたからこそ使えた。

「まとめられる力はまとめる」というのは、剛体の問題を簡単にする基本の手筋である。逆に、成分に分けたほうがよい場面もある。どちらが有利かは、何を求めたいかで決まる。

別解

モーメントの式を直接立てるルート。 定理を使わず、ふつうにつり合いの式を書いても解ける。

未知数は、壁からの力 $N_{\mathrm{w}}$、床の垂直抗力 $N$、摩擦力 $f$ の $3$ つである。

$$\text{水平}:f=N_{\mathrm{w}}$$

$$\text{鉛直}:N=W$$

$$\text{下端まわりのモーメント}:N_{\mathrm{w}}\cdot L\sin 60^{\circ }=W\cdot \frac{L}{2}\cos 60^{\circ }$$

第 $3$ 式から

$$N_{\mathrm{w}}=\frac{W\cos 60^{\circ }}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{W}{2\tan 60^{\circ }}=0.29W$$

したがって $f=0.29W$、$N=W$ で、$\frac{f}{N}=0.29$ ✓ ③④ と一致する。

計算量はどちらも大差ない。しかし作用線の定理を使うと、「床の力がどちらを向いているか」が図の上で先に見える。答えの向きを知ってから計算すると、符号や角の取り違えに気づきやすい。

なお、この定理は逆にも使える。$3$ 力の作用線が $1$ 点で交わっていなければ、その物体は必ず回転を始める。図を見ただけで「これは回る」と判断できるのは、設計や安全の検討で役に立つ。