はしごに人が乗る

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 s04 と同じ構図に、人の重力の項が 1 つ増えるだけである。床の接点まわりのモーメントで立てれば、$45°$ の $\sin$ と $\cos$ が全項で共通になって消える。

① 床の接点まわりのモーメント。 はしごに沿った距離を使うと($\cos 45°$ が全項共通で消えるので)

$$N_W\times 4.0=100\times 2.0+400\times 3.0=200+1200=1400$$

$$N_W=350\mathrm{N}$$

② すべらない条件。 水平のつり合い: $f=N_W=350\mathrm{N}$。鉛直のつり合い: $N=100+400=500\mathrm{N}$。

$$\mu \ge \frac{f}{N}=\frac{350}{500}=0.70$$

まとめ s04 の ${\mu }_{min}=0.50$ が、人が登ったことで $0.70$ に跳ね上がった。人が高く登るほど $N_W$ と $f$ が増え、すべりやすくなる——はしごの上のほうで作業するときほど危険、という現場の常識が式で確かめられる。人がどこまで登れるかを逆算するのが a02 である。

別解

人の位置を変数のまま見るルート(得意な人向け)。 人の位置を下端から $d$ とすると

$$N_W=\frac{100\times 2.0+400d}{4.0}=50+100d$$

$d=3.0$ で $350\mathrm{N}$。この式は $d$ の 1 次関数で、登るほど壁への力(=必要な摩擦)が一定の割合で増えることを示す。数値を入れる前に構造を見る習慣は、記述式の説明にも直結する。