クレーンのブームのつり合い

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 クレーンの腕は、物理としては s10 の「ちょうつがい+棒+斜め糸+先端荷重」そのものである。A まわりのモーメント → 力のつり合いの 2 段で、実機サイズの数値を処理する。

① A まわりのモーメント。

$$T\sin 30°\times 3.0=400\times 1.5+1000\times 3.0=600+3000=3600$$

$$T\times 0.5\times 3.0=3600⟹T=2400\mathrm{N}$$

② 力のつり合い。 水平方向: ワイヤの水平成分は支柱向きに

$$T\cos 30°=2400\times 0.865=2078\approx 2.1\times 10^3\mathrm{N}$$

ちょうつがいはこれを押し返す(支柱から離す向きに $2.1\times 10^3\mathrm{N}$)。

鉛直方向: $V+T\sin 30°=400+1000$ より

$$V=1400-1200=200\mathrm{N}(上向き)$$

まとめ 吊り荷 $1000\mathrm{N}$ に対しワイヤ張力は $2400\mathrm{N}$、水平の圧縮は $2100\mathrm{N}$。浅い角度の吊りは、荷物の何倍もの力を構造にかける。クレーンのワイヤ角度やブームの太さは、この計算の積み重ねで決まっている。

別解

「鉛直に必要な力」から張力を出すルート。 B 端のワイヤが受け持つべき鉛直成分は、A まわりの計算から $\frac{3600}{3.0}=1200\mathrm{N}$。張力はその $\frac{1}{\sin 30°}=2$ 倍で $2400\mathrm{N}$。

s10 で使った 2 段の見方がそのままスケールアップする。数値が大きくなっても、構造が同じなら手筋も同じ——応用問題の安心材料である。