半円板の重心はどこか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 重心の定義は「$\frac{\sum (\text{位置})\times (\text{面積})}{\sum (\text{面積})}$」である。

問題は、どの向きに切るかである。$y$ 軸に平行な帯に切ると、帯ごとに $y$ 座標が違ってしまい面倒になる。

$x$ 軸に平行な帯に切れば、$1$ 本の帯の中では $y$ が共通である。だから帯の面積さえ書ければ、和が素直に計算できる。

① 対称性。 半円板は $y$ 軸について左右対称なので

$$x_{\mathrm{G}}=0$$

② 帯の面積。 高さ $y$ の位置での帯の長さは、円の方程式 $x^2+y^2=r^2$ から $2\sqrt{r^2-y^2}$ である。

$$\Delta S=2\sqrt{r^2-y^2}\Delta y$$

③ 重心。 定義に従って足し合わせる。

$$y_{\mathrm{G}}=\frac{{\int }_0^{r}y\cdot 2\sqrt{r^2-y^2}dy}{\frac{\pi r^2}{2}}$$

分子を計算する。$u=r^2-y^2$ とおくと $du=-2ydy$ だから

$${\int }_0^{r}2y\sqrt{r^2-y^2}dy={\int }_{r^2}^0-\sqrt{u}du={\int }_0^{r^2}\sqrt{u}du={\left[\frac{2}{3}{u}^{3/2}\right]}_0^{r^2}=\frac{2}{3}{r}^3$$

したがって

$$y_{\mathrm{G}}=\frac{\frac{2}{3}{r}^3}{\frac{\pi r^2}{2}}=\frac{4r}{3\pi }$$

$$y_{\mathrm{G}}=\frac{4\times 0.30}{3\times 3.14}\approx 0.13\mathrm{m}$$

半径の約 $0.42$ 倍で、中心寄りである。

④ 板と弧の比較。

$$\frac{2r}{\pi }÷\frac{4r}{3\pi }=\frac{2r}{\pi }\times \frac{3\pi }{4r}=\frac{3}{2}=1.5$$

弧の重心のほうが $1.5$ 倍外側にある。

理由は面積(長さ)の分布にある。板では、中心に近いほど帯が長く(面積が大きく)、外側へ行くほど短くなる。だから重心が中心寄りに引かれる。

弧では、どの部分も同じ太さの針金で、外周に沿って一様に分布している。中心寄りに集まる部分がないので、重心は板より外にある。

まとめ 帯に切る向きを選ぶこと、そして「どこに多く分布しているか」で重心の位置を予想すること。この $2$ つで重心の問題は見通しがよくなる。

発展 — 一歩先へ。 半円板の重心が $\frac{4r}{3\pi }$ と分かると、パップス・ギュルダンの定理を使って球の体積が出せる。

半円板を直径のまわりに $1$ 回転させると球になる。この定理によれば、回転体の体積は「もとの図形の面積 × 重心が動いた距離」である。

$$V=\frac{\pi r^2}{2}\times 2\pi \cdot \frac{4r}{3\pi }=\frac{\pi r^2}{2}\times \frac{8r}{3}=\frac{4}{3}\pi r^3$$

たしかに球の体積になる。

逆に、球の体積を知っていれば、この関係から半円板の重心が求まる。積分を使わずに重心が出せることになる。定理を「どちら向きに使うか」で、道具の使い道が広がる。

別解

球の体積から逆算するルート。 発展で触れた関係を、そのまま重心を求める道具として使える。

パップス・ギュルダンの定理は「回転体の体積 = もとの図形の面積 × 重心が動いた距離」である。

半円板($y\ge 0$)を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させると球になる。重心が半径 $y_{\mathrm{G}}$ の円を描くので、動いた距離は $2\pi y_{\mathrm{G}}$ である。

$$\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{\pi r^2}{2}\times 2\pi y_{\mathrm{G}}$$

$$y_{\mathrm{G}}=\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{{\pi }^2{r}^2}=\frac{4r}{3\pi }$$

③ と一致する。積分を $1$ 回もしていない。

同じ手で半円の弧の重心も出せる。弧を回転させると球面になり、その表面積は $4\pi r^2$、弧の長さは $\pi r$ だから

$$4\pi r^2=\pi r\times 2\pi y_{\mathrm{G}}⟹y_{\mathrm{G}}=\frac{2r}{\pi }$$

これも与えられた値と一致する。

「知っている量から未知の量を逆算する」というのは、公式を覚える負担を減らす有効な方法である。球の体積と表面積は誰でも覚えているので、そこから $2$ つの重心が引き出せる。