物理 / 剛体のつり合い

天秤はどうすれば感度が上がるか

最難関編モーメント重心測定

問題

天秤のはり(棒)は支点で支えられ、その重心は支点より $h$ だけ下にある。はりの質量は $M$ 、支点から皿までの腕の長さは左右とも $L$ である。

左右の皿に載せた質量に $Δ m$ の差があるとき、はりは角 $θ$ だけ傾いてつり合う。

$M = 0.10 kg$ 、 $L = 0.20 m$ 、 $h = 2.0 \times 1 0^{- 3} m$ とする。

天秤のはり。重心は支点より h だけ下にある(図は傾きを誇張してある)。

(1) 傾いた状態でのモーメントのつり合いから、 $tan θ$ を $Δ m, L, M, h$ で表せ。

(2) $Δ m = 1.0 \times 1 0^{- 5} kg$ ( $10 mg$ )のときの傾く角を求めよ。 $tan^{- 1} 0.010 = 0.5 7^{\circ}$ とする。

(3) 感度(同じ $Δ m$ に対する傾きの大きさ)を上げるには、 $M, L, h$ をどうすればよいか。

(4) 重心を支点と同じ高さ( $h = 0$ )にすると何が起こるか。また支点より上にするとどうなるか。

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傾いたとき、質量差はどんなモーメントを生むか。はり自身の重さはどうか。 $2$ つの腕の長さは、傾きとともにどう変わるか。

解答・解説

方針

傾いた状態で、質量差によるモーメントと、はり自身の重さによる復元モーメントがつり合う。前者は $cos θ$ 、後者は $sin θ$ に比例するので、比をとると $tan θ$ が出る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 天秤が「つり合う角度」で止まるのは、傾くほど戻そうとするモーメントが生まれるからである。

その復元モーメントを生んでいるのは、はり自身の重さである。重心が支点より下にあるので、傾くと重心が横にずれ、戻す向きのモーメントが生じる。

つまり「質量差が傾けようとする」対「はりの重さが戻そうとする」の勝負である。 $2$ つのモーメントを書いて等しいとおけば、傾く角が決まる。

① つり合いの式。 角 $θ$ 傾いたとき、質量差 $Δ m$ による力 $Δ m g$ の、支点まわりの腕の長さは $L cos θ$ である。

$(傾けるモーメント) = Δ m g L cos θ$

いっぽう、はりの重心は支点の真下 $h$ から横に $h sin θ$ ずれる。

$(戻すモーメント) = M g h sin θ$

$2$ つが等しいとおく。

$Δ m g L cos θ = M g h sin θ ⟹ tan θ = \frac{Δ m L}{M h}$

$g$ が両辺から消える。

重要傾ける側は

cos θ

、戻す側は

sin θ

に比例する。だから比をとると

tan θ

になる

② 数値。

$tan θ = \frac{1.0 \times 1 0 ^{- 5} \times 0.20}{0.10 \times 2.0 \times 1 0 ^{- 3}} = \frac{2.0 \times 1 0 ^{- 6}}{2.0 \times 1 0 ^{- 4}} = 0.010$

$θ = 0.5 7^{\circ}$

$10 mg$ の差で $0.5 7^{\circ}$ 傾く。目盛りを読めば十分に検出できる。

③ 感度を上げるには。 $tan θ$ が大きいほど感度がよい。式を見ると

$tan θ = \frac{L}{M h} Δ m$

なので、 $L$ を長く、 $M$ を小さく、 $h$ を小さくすればよい。特に $h$ は $2 mm$ という小さな値なので、ここを調整するのが実際の設計になる。精密天秤では、支点のすぐ下に重心が来るように微調整するねじがついている。

傾くと重心が横へずれ、戻す向きのモーメント Mgh sinθ が生じる。これが角度を決める。

④ 重心の位置を変えると。 $h = 0$ (重心が支点と同じ高さ)にすると、戻すモーメントが生じない。どんなに小さな $Δ m$ でも、はりは止まらずに傾き続ける。角度が決まらないので、測定器としては使えない(中立のつり合い)。

$h < 0$ (重心が支点より上)にすると、傾いたときに重心がさらに外へずれ、傾きを大きくする向きのモーメントが生まれる。これは不安定なつり合いで、少しの乱れでひっくり返ってしまう。

まとめ 感度と安定性は、重心と支点の距離 $h$ で決まる。 $h$ を小さくすれば感度は上がるが、 $0$ に近づけすぎると安定性を失う。

発展 — 一歩先へ。 ③ で「 $M$ を小さく」とあるが、はりを軽くしすぎると変形しやすくなり、腕の長さが荷重で変わってしまう。 $L$ を長くすると、今度は自重によるたわみが問題になる。

現代の精密な質量測定では、そもそも天秤の傾きを読まない。電磁力でつり合いの位置に戻し、そのとき必要な電流から質量を求める(電磁力平衡方式)。傾きを $0$ に保つので、 $h$ をめぐる感度と安定性の綱引きから解放される。

「測定量を読む」のではなく「もとの状態に戻す力を測る」という発想の転換は、電位差計(電流を流さずに起電力を測る)とも共通している。

答

$tan θ = \frac{Δ m L}{M h}$ 、 $0.5 7^{\circ}$ 、 $L$ を長く・ $M$ を小さく・ $h$ を小さくする、 $h = 0$ では中立で角が決まらず、 $h < 0$ (重心が上)では不安定でひっくり返る

別解

位置エネルギーの最小として見るルート。 つり合いの角は、系全体の位置エネルギーが最小になる角としても求められる。

はりが $θ$ 傾くと、はりの重心は $h (1 - cos θ)$ だけ持ち上がる。いっぽう、重いほうの皿は $L sin θ$ 下がり、軽いほうは同じだけ上がる。

質量差 $Δ m$ のぶんだけ、下がる側が勝つので、位置エネルギーの変化は

$U (θ) = M g h (1 - cos θ) - Δ m g L sin θ$

$θ$ で微分して $0$ とおく。

$\frac{d U}{d θ} = M g h sin θ - Δ m g L cos θ = 0 ⟹ tan θ = \frac{Δ m L}{M h}$

① と一致する。

この見方の利点は、④ の安定性がそのまま読めることである。 $h > 0$ なら $U$ は下に凸で最小値をもつ(安定)。 $h = 0$ なら $U$ は $θ$ について単調で最小値がない(中立から不安定へ)。 $h < 0$ なら最小でなく最大になり、そこから離れる向きに動く(不安定)。

「つり合い = 力のつり合い」と「つり合い = エネルギーの停留」は同じことだが、安定性まで見たいときは後者が便利である。

ポイント

tanθ=ΔmL/(Mh)。g は消える
傾ける側は cosθ、戻す側は sinθ に比例する
感度は L に比例、M と h に反比例
h=0 で中立、h<0 で不安定。感度と安定性は h の取り合い

よくある間違い

腕の長さを傾いても L のままとする(cosθ が要る)
はりの重さによる復元モーメントを忘れる(それがないと角が決まらない)
感度を上げるために h を 0 にしようとする(安定性を失う)