ドアの蝶番にかかる力

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ドアにはたらく外力は重力と、$2$ つの蝶番からの力だけである。重力は鉛直なのに、なぜ蝶番に水平の力がかかるのか。

理由はモーメントにある。重力はドアの中央、つまり蝶番の線から $\frac{a}{2}$ 離れたところにはたらく。これはドアを「壁からもぎ取る」向きに回そうとする。

このモーメントを打ち消すには、鉛直の力だけでは足りない(蝶番は同じ鉛直線上にあるので、モーメントの腕がない)。上下で逆向きの水平力、つまり偶力が必要になる。

① 力とつり合い。 はたらく力は、重力 $W$(下向き、中央)、上の蝶番からの力($H_1$ 水平、$V_1$ 鉛直)、下の蝶番からの力($H_2$ 水平、$V_2$ 鉛直)である。

$$\text{水平}:H_1+H_2=0$$

$$\text{鉛直}:V_1+V_2=W$$

$$\text{モーメント(下の蝶番まわり)}:H_{1}b=W\cdot \frac{a}{2}$$

水平方向の式から $H_2=-H_1$、つまり大きさが同じで向きが逆である。

② 水平力。

$$H_1=\frac{Wa}{2b}=\frac{200\times 0.80}{2\times 1.6}=50\mathrm{N}$$

上の蝶番はドアを壁のほうへ引く向き、下の蝶番は壁から押し出す向きである。$2$ つで偶力をつくり、重力のモーメントを打ち消している。

③ 間隔を半分にすると。 $H\propto \frac{1}{b}$ だから、$b$ が半分になれば $H$ は $2$ 倍の $100\mathrm{N}$ になる。

蝶番はできるだけ離してつけたほうが、$1$ つあたりの負担が小さくなる。ドアの上端と下端の近くに取りつけるのは、このためである。

④ 上の蝶番の合力。 鉛直方向をすべて上の蝶番が支えるとすると $V_1=200\mathrm{N}$ である。水平の $50\mathrm{N}$ と合わせて

$$F=\sqrt{50^2+200^2}=\sqrt{42500}\approx 2.1\times 10^2\mathrm{N}$$

まとめ 鉛直の重力しかかかっていないのに水平の力が生じるのは、モーメントを打ち消す必要があるからである。「離してつけるほど楽になる」という設計の常識が、$\frac{1}{b}$ という形で式に現れている。

発展 — 一歩先へ。 ① で気づくように、鉛直方向の力 $V_1,V_2$ の配分は決まらない。式が $3$ 本に対して未知数が $4$ 個だからである(これも不静定である)。

実際には、上の蝶番のほうが多く負担することが多い。ドアがわずかに垂れ下がると、上の蝶番が引っかかる形になるからである。だから ④ のように「上がすべて支える」と仮定するのは、安全側の見積もりとして妥当である。

設計では、こうした「決まらない量」を安全側に仮定して余裕をもたせる。物理で決まる部分と、仮定を置く部分を区別しておくことが大切である。

別解

重力を蝶番の線上へ移すルート。 モーメントの計算を、力の平行移動として見ると見通しがよい。

重心にはたらく重力 $W$ を、蝶番の線上へ平行移動させることを考える。ただの平行移動では回転の効果が変わってしまうので、移動した距離 $\frac{a}{2}$ と力の積、すなわち

$$W\times \frac{a}{2}=200\times 0.40=80\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$$

の偶力を「おつり」として付け加える必要がある。

すると、ドアにはたらくのは「蝶番の線上の鉛直力 $W$」と「$80\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ の偶力」の $2$ つになる。

鉛直力は蝶番の鉛直方向の力が受け持つ。偶力は偶力でしか打ち消せないので、蝶番の水平力が偶力をつくる。その腕は $b$ だから

$$H\times 1.6=80⟹H=50\mathrm{N}$$

② と一致する。

「力を平行移動すると偶力が生まれる」という見方は、剛体の問題を整理するのに便利である。重心にはたらく重力を支点の真上に移す、といった操作でも同じ考え方を使う。