物理 / 剛体のつり合い

一様な棒の一端を持ち上げる

★ 基礎重心モーメントのつり合い

問題

長さ $1.6 m$ 、重さ $40 N$ の一様な棒が床に置いてある。B 端を床につけたまま、A 端を鉛直上向きの力でゆっくり持ち上げる。持ち上げるのに必要な力の大きさを求めよ。

B 端を支点に A 端を持ち上げる。重さ 40 N は中央の重心にはたらく

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棒の重さはどこにはたらくと考えればよいか。「一様な棒」という言葉が重心の位置を教えてくれている。回転の中心は床についている B 端。

解答・解説

一様な棒の重さは中央(重心)に集中してはたらくとみなす。接地点 B まわりのモーメントのつり合いで F×1.6=40×0.8。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 広がりのある物体の重力は、重心に全重量が集中してはたらくとみなしてよい。一様な棒の重心は中央、つまり B から $0.80 m$ の点である。回転の支点は床に残る B 端。

重要一様な棒の重さは中央(重心)にはたらくとみなす

① B まわりのモーメントのつり合い。 持ち上げる力 $F$ (うで $1.6 m$ )と重力 $40 N$ (うで $0.80 m$ )がつり合うから

$F \times 1.6 = 40 \times 0.80$

② 解く。

$F = \frac{32}{1.6} = 20 N$

まとめ 重さの半分で持ち上がるのは、うでの長さが 2 倍だから。片側を持ち上げる作業(机・畳・丸太)はいつも半分の力で済む、という生活の知恵の物理版である。

答

$20 N$

床の力も出して全体を見るルート。 持ち上げ中、B 端で床が棒を押す力 $N$ は、力のつり合いから

$N = 40 - F = 40 - 20 = 20 N$

つまり重さ $40 N$ を、人と床が $20 N$ ずつ分担している。重心が真ん中にある限り、この分担は常に半々になる。A まわりのモーメント( $N \times 1.6 = 40 \times 0.8$ )でも同じ $N = 20 N$ が出て、検算になる。