自動車の重心はどこにあるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 台ばかり2つの読みから分かるのは、重心の前後の位置 である。前が重ければ重心は前寄り、というだけのことで、これは距離の逆比で出る。

しかし 高さは、水平に置いたままでは絶対に分からない。 車を持ち上げても傾けなければ、前後の分担は変わらないからである。

そこで 傾ける 。傾けると重心は、その高さに応じて水平方向にずれる。高い位置にある重心ほど大きくずれ、前輪の負担が大きく増える。軸重の変化が高さを教えてくれる。 高さを直接測れないものを、測れる量の変化から引き出す — これが測定の工夫である。

① 重さと前後の位置。 全重量は

$$W=9000+6000=15000\mathrm{N}$$

重心から前軸までを $c$、後軸までを $a$ とすると、軸重の比は距離の逆比だから

$$9000:6000=a:c$$

$a+c=2.5$ と合わせて

$$a=2.5\times \frac{9000}{15000}=1.5\mathrm{m},c=1.0\mathrm{m}$$

重心は前軸から $1.0\mathrm{m}$ の位置にある。前が重い車である。

② 傾けると前が重くなる理由。 重力はいつでも鉛直に、重心を通ってはたらく。傾けると、その 重心の位置が車体ごと動く 。

車体を後ろ上がりに角 $\alpha$ だけ傾けると、車体に固定された重心は、後軸から見て水平方向に

$$a\cos \alpha +H\sin \alpha$$

のところへ来る。第2項がみそである。重心が高いほど、傾けたときに前へ大きくずれる。 前へずれれば、その分だけ前輪の負担が増える。

③ 重心の高さ。 後輪の接地点のまわりでモーメントのつり合いを書く。前輪の力 $N_f$ は鉛直上向き、水平距離は $2.5\cos \alpha$ である。

$$N_f\times 2.5\cos \alpha =W(a\cos \alpha +H\sin \alpha )$$

両辺を $\cos \alpha$ で割ると、$\tan \alpha$ だけの式になる。

$$N_f=\frac{W(a+H\tan \alpha )}{2.5}$$

数値を入れる。$\tan \alpha =0.75$、$a=1.5$、$W=15000$ だから

$$11250=\frac{15000(1.5+0.75H)}{2.5}=6000(1.5+0.75H)=9000+4500H$$

$$H=\frac{11250-9000}{4500}=0.50\mathrm{m}$$

重心の高さは $0.50\mathrm{m}$ である。$\alpha =0$ とすれば $N_f=9000\mathrm{N}$ に戻ることも確かめられる。

④ 横転のしやすさ。 横向きの坂に止めた車が横転し始めるのは、重心を通る鉛直線が、山側の車輪の接地点の外へ出るとき である。

重心は左右の中央にあるとすれば、接地点までの水平距離はトレッドの半分 $0.75\mathrm{m}$、重心の高さは $H$ である。傾きが $\phi$ のとき、限界の条件は

$$\tan \phi =\frac{0.75}{H}$$

$H=0.50$ なら

$$\tan \phi =\frac{0.75}{0.50}=1.5(\phi \fallingdotseq 56^{\circ })$$

$H=0.80$ の車なら

$$\tan \phi =\frac{0.75}{0.80}=0.9375(\phi \fallingdotseq 43^{\circ })$$

重心が高い車ほど、浅い傾きで横転する。 車高の高い車が横転しやすいと言われるのは、この式そのものである。

まとめ 測れない量は、測れる量が変化する仕組み を通して引き出す。傾けるという操作が、重心の高さを軸重の変化に翻訳してくれた。測定とは、そういう翻訳の設計である。

発展 — 一歩先へ。 重心が低いほど横転しにくいのは、車に限らない。同じ理屈で、荷物は下のほうに積むほうがよく、背の高い家具は上に重い物を置かないほうがよい。

$\tan \phi =\frac{(\text{支える幅の半分})}{(\text{重心の高さ})}$ という式には、幅と高さの2つしか入っていない。倒れにくさは「広く・低く」だけで決まる 。重さは入っていないので、重くしても倒れにくくはならない。

別解

重心のずれを直接みるルート。 モーメントの式を立てずに、①で得た結果を使い回すこともできる。

①から、前軸の力は重心から後軸までの水平距離に比例する と分かっている。水平のときはその距離が $1.5\mathrm{m}$ で、前軸の力は $9000\mathrm{N}$ だった。

傾けたあとの前軸の力は $11250\mathrm{N}$ で、$1.25$ 倍になっている。比例するのだから、重心から後軸までの水平距離も $1.25$ 倍 になったはずである。

$$1.5\times 1.25=1.875\mathrm{m}$$

ただしホイールベースの水平方向の見かけの長さも $\cos \alpha$ 倍に縮んでいるので、そろえて考える必要がある。$\cos \alpha$ で割り戻して比べると、増えたぶんは

$$1.875÷0.80-1.5\times \dots$$

と少し込み入る。そこで、はじめから $\cos \alpha$ で割った量、つまり 車体に沿って測った距離 で考えるとよい。

車体に沿って測れば、重心の位置は $a=1.5\mathrm{m}$ のまま動かない。動くのは「鉛直線がどこを通るか」で、そのずれが $H\tan \alpha$ である。

$$1.5+0.75H=1.875⟹H=0.50\mathrm{m}$$

同じ答えになった。$1.25$ 倍という比だけで進めるので、途中の数値が小さくてすむ。比で考えると、共通の因子($\cos \alpha$ や $W$)が最初から消える のが利点である。