L 字形の板の重心

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 L 字は長方形 2 枚に切り分けられる。各パーツの重さがそれぞれの中心に集中しているとみなし、b09 と同じ加重平均を取ればよい。厚さ・材質が一様なら質量は面積に比例するので、重みは面積で代用できる。

① パーツ分けと各重心。

• 縦の長方形: $2.0\times 6.0$ で面積 $12\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$、中心 $(1.0,3.0)$
• 横の長方形: $4.0\times 2.0$ で面積 $8.0\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$、中心 $(4.0,1.0)$

② 加重平均。

$$x_G=\frac{12\times 1.0+8.0\times 4.0}{12+8.0}=\frac{44}{20}=2.2\mathrm{cm}$$

$$y_G=\frac{12\times 3.0+8.0\times 1.0}{20}=\frac{44}{20}=2.2\mathrm{cm}$$

重心は $(2.2,2.2)$。

まとめ 重心 $(2.2,2.2)$ は L 字のくぼみ側に寄っていて、物体の外(材料のない場所)に出ることもあるのがこの型の面白いところである(本問はぎりぎり内側)。切り分け→各中心→面積加重平均、の 3 手はどんな複合板にも通用する。

別解

別の切り分けで検算するルート。 同じ L 字を「横長の下段 $6.0\times 2.0$(中心 $(3.0,1.0)$、面積 12)+縦の上段 $2.0\times 4.0$(中心 $(1.0,4.0)$、面積 8)」と切っても

$$x_G=\frac{12\times 3.0+8\times 1.0}{20}=2.2,y_G=\frac{12\times 1.0+8\times 4.0}{20}=2.2$$

と同じ重心になる。切り分け方によらず答えは同じ——これが正しく計算できているかの強力な検算になる。