うでの筋肉はなぜ荷物の何倍もの力を出すのか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 てこには、支点・力点・作用点の並び方で何通りかの形がある。この腕は 支点(ひじ)のすぐそばを筋肉が引き、遠いところで荷物を支える という形をしている。

モーメントのつり合いは「力 × 腕」がつり合うことだから、腕が短い側は力が大きくならざるを得ない。 筋肉の腕は荷物の腕の $\frac{4}{30}$ しかない。それだけで、筋肉が荷物の何倍もの力を出していることが見当づく。

損に見えるこの形が、なぜ生き物に採用されているのか。そこまで含めて考えると、てこの意味がひっくり返って見えてくる。

① 筋肉の力。 ひじの関節 O を支点にとる。O のまわりでモーメントのつり合いを書く。関節から受ける力は腕が $0$ なので消える。

上向きに引くのは筋肉の力 $F$(腕 $4.0\mathrm{cm}$)、下向きは前腕の重さ $20\mathrm{N}$(腕 $15\mathrm{cm}$)と荷物 $50\mathrm{N}$(腕 $30\mathrm{cm}$)である。

$$F\times 4.0=20\times 15+50\times 30=300+1500=1800$$

$$F=\frac{1800}{4.0}=450\mathrm{N}$$

荷物 $50\mathrm{N}$(約 $5\mathrm{kg}$)を持つのに、筋肉は $450\mathrm{N}$、その 9倍 の力を出している。

② 関節にかかる力。 前腕にはたらく鉛直方向の力を集める。上向きは筋肉の $450$、下向きは重さ $20$ と荷物 $50$、そして関節からの力 $R$ である。

$$450+R=20+50⟹R=-380$$

負になったのは、$R$ を上向きと置いたからである。つまり関節は前腕を 下向きに $380\mathrm{N}$ で押している 。

筋肉が強く引き上げるぶん、関節はそれを引き止める向きに大きな力を受ける。荷物より関節にかかる力のほうがずっと大きい ことは、体の使い方を考えるうえで意味がある。

③ 荷物を2倍にすると。 増えたぶんだけを見ればよい。荷物が $50\mathrm{N}$ 増えると、モーメントは $50\times 30=1500$ 増える。これを腕 $4.0$ で割ると

$$\Delta F=\frac{1500}{4.0}=375\mathrm{N}$$

筋肉の力は $450+375=825\mathrm{N}$ になる。荷物 $1\mathrm{N}$ につき筋肉は $7.5\mathrm{N}$ 増やさなければならない。 この $7.5$ という数は、腕の比 $\frac{30}{4.0}$ そのものである。

④ それでもこの形をしている理由。 損得は力だけでは決まらない。動く距離を見る。

ひじが少し回るとき、筋肉が縮む長さと手が動く距離の比は、支点からの距離の比に等しい。

$$\frac{\text{手の動き}}{\text{筋肉の縮み}}=\frac{30}{4.0}=7.5$$

筋肉が $1\mathrm{cm}$ 縮むだけで、手は $7.5\mathrm{cm}$ 動く。同じ時間で動くのだから、手は筋肉の $7.5$ 倍の速さで動く ことにもなる。

筋肉が縮める長さには限りがあり、縮む速さにも限りがある。その限られた縮みを、大きな動きと速さに変換している のがこの形である。力で $7.5$ 倍損をして、距離と速さで $7.5$ 倍得をしている。

まとめ てこは力を増やす道具だと思われがちだが、逆に 力を犠牲にして距離と速さを買う 使い方もある。人体の関節はほとんどがこの形である。損得は「力 × 距離」で見ると、どちらも変わらない。

発展 — 一歩先へ。 同じ理屈から、荷物を体に近づけて持つ ことの意味も分かる。荷物を手のひら($30\mathrm{cm}$)ではなくひじから $10\mathrm{cm}$ の位置で抱えられれば

$$F=\frac{20\times 15+50\times 10}{4.0}=200\mathrm{N}$$

筋肉の力は $450\mathrm{N}$ から $200\mathrm{N}$ へ、半分以下になる。重い物を運ぶときに体に引き寄せるのは、腕を短くしてモーメントを減らすためである。

腰を痛めない持ち上げ方も同じ理屈で説明できる。腕の長さを縮める ことが、体を守るいちばん確実な方法になる。

別解

仕事の面から見るルート。 モーメントの式を立てずに、力 × 距離が等しい という関係だけで筋肉の力を出すこともできる。

ひじを少し曲げて、手を $h$ だけ持ち上げたとする。腕の比から、筋肉が縮む長さは

$$\frac{4.0}{30}h=\frac{2}{15}h$$

である。

筋肉がする仕事と、荷物と前腕を持ち上げるのに要る仕事は等しい。前腕の重心は手の $\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$ しか上がらないことに注意すると

$$F\times \frac{2}{15}h=50\times h+20\times \frac{h}{2}$$

$h$ が両辺から消えて

$$F\times \frac{2}{15}=60⟹F=450\mathrm{N}$$

同じ値である。

この見方の利点は、④ の答えが最初から式に入っている ことである。$F$ が大きいのは、動く距離が小さいことの裏返しにすぎない。「力で損をして距離で得をする」という関係が、$F\times \frac{2}{15}h$ という積の形にそのまま現れている。

道具の損得を考えるときは、力だけを見ずに「力 × 距離」を見る。てこ・滑車・斜面のどれでも、この積は変わらない。