物理 / 剛体のつり合い

くり抜いた円板の重心

★★ 標準重心くり抜き

問題

半径 $2 R$ の一様な円板から、中心が円板の中心 O から $R$ だけ離れた半径 $R$ の円をくり抜いた。残った部分の重心は、O からどちら側にどれだけ離れた位置にあるか。また、 $R = 6.0 cm$ のときの距離を求めよ。

半径 2R の円板から、O から R の位置を中心に半径 R をくり抜く

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くり抜きは「負の質量を足す」か「元に戻して考える」か。おすすめは後者で、「残った部分+くり抜いた円板=元の円板」という関係から、元の重心 O を加重平均で表してみること。

解答・解説

「残り=全体−穴」を「全体=残り+穴」と読み替える。全体の重心(O)は、残りの重心と穴の重心の加重平均になっている、という式を立てて逆算する。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 くり抜き問題の定石は、「残り+穴=元の全体」と逆向きに組み立てること。元の円板の重心は O とわかっているから、「残りの重心」と「穴の重心」の加重平均が O になる、という方程式が立つ。

① 質量(面積)の整理。 面積は半径の 2 乗に比例する。元の円板( $4 S$ とする)、穴( $S$ )、残り( $3 S$ )。穴の中心は O から $+ R$ (右とする)。

② 加重平均の式。 残りの重心を $x_{G}$ とすると、全体の重心が O( $x = 0$ )だから

$\frac{3 S \cdot x _{G} + S \cdot R}{4 S} = 0$

③ 解く。

$3 x_{G} = - R ⟹ x_{G} = - \frac{R}{3}$

負号は穴と反対側を意味する。 $R = 6.0 cm$ なら

$\frac{6.0}{3} = 2.0 cm$

残り(3S)の重心は、穴(S)と反対側に R/3 だけずれる

まとめ 材料を右から取り除けば、重心は左へ逃げる——向きの直感とも合う。「引き算の図形は、足し算の式に読み替える」。この 1 手でくり抜き系はすべて機械的に解ける。

答

くり抜いた穴と反対側に $\frac{R}{3}$ 。 $R = 6.0 cm$ なら $2.0 cm$

負の質量で処理するルート(得意な人向け)。 くり抜きを「面積 $- S$ の円板を重ねた」とみなして、そのまま加重平均する。

$x_{G} = \frac{4 S \times 0 + ( - S ) \times R}{4 S + ( - S )} = \frac{- S R}{3 S} = - \frac{R}{3}$

1 行で同じ答えになる。負の質量は道具としては強力だが、符号の意味(取り除いた分)を理解した上で使うこと。