物理 / 剛体のつり合い

台を傾けていくと物体はどうなるか

★★ 標準転倒摩擦斜面

問題

幅 $0.90 m$ 、高さ $1.2 m$ の一様な直方体を台の上に置き、台を水平からゆっくり傾けていく。直方体と台の間の静止摩擦係数は $0.80$ である。(1) 倒れ始める傾きの角 $θ_{1}$ について $tan θ_{1}$ を求めよ。(2) すべり出す傾きの角 $θ_{2}$ について $tan θ_{2}$ を求めよ。(3) 傾けていくと、先に起こるのは「倒れる」「すべる」のどちらか。

台をゆっくり傾ける。転倒(tanθ=b/h)とすべり(tanθ=μ)のどちらが先か

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b11(判定)と斜面すべりの臨界(tanθ=μ)を組み合わせる比較問題。2 つの臨界角のタンジェントを別々に出し、小さいほうが先に訪れる。

解答・解説

方針

倒れの臨界は重心の鉛直線が下側の角を通るとき tanθ₁=幅/高さ。すべりの臨界は tanθ₂=μ。小さい角のほうが先。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 台を傾けると、物体には 2 つの限界が近づいてくる。転倒の限界( $tan θ = \frac{b}{h}$ 、b11 の境界)とすべりの限界( $tan θ = μ$ 、斜面の定番)。それぞれの $tan$ を出して比べれば、先に来るほうがわかる。

① 倒れの臨界。

$tan θ_{1} = \frac{幅}{高さ} = \frac{0.90}{1.2} = 0.75$

② すべりの臨界。 斜面上のすべり出しは $m g sin θ = μ m g cos θ$ となるときだから

$tan θ_{2} = μ = 0.80$

③ 比較。 $0.75 < 0.80$ 、つまり $θ_{1} < θ_{2}$ 。傾けていくと先に転倒の限界に達する。よって先に倒れる。

まとめ $tan θ_{1} = 0.75$ は $3 : 4 : 5$ の三角形の角(約 $37°$ )。背が高い・摩擦が強い、の組み合わせは「すべらずに倒れる」。逆に平べったい・つるつるなら「倒れずにすべる」。2 つの $tan$ の大小がすべてを決める。

答

(1) $tan θ_{1} = 0.75$ (2) $tan θ_{2} = 0.80$ (3) $tan θ_{1} < tan θ_{2}$ なので先に倒れる

別解

「どちらが先か」を式 1 本で判定するルート。 先に倒れる条件は $θ_{1} < θ_{2}$ 、すなわち

$\frac{b}{h} < μ$

本問は $\frac{0.90}{1.2} = 0.75 < 0.80 = μ$ で成立。逆に $\frac{b}{h} > μ$ なら先にすべる。個々の角度を出さなくても、形の比 $b / h$ と摩擦係数 $μ$ の大小比較だけで結論が出る、と整理しておくと速い。

ポイント

倒れ: tanθ=b/h、すべり: tanθ=μ
小さい tan のほうが先に起こる
b/h<μ なら倒れが先

よくある間違い

b/h の分母分子を逆にする
すべりの臨界を tanθ=1/μ とする
両方計算せず一方だけで結論を出す