壁も床もあらい、はしごの限界角

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 a01 との違いは、壁の摩擦 $f_2$(上向き)が加わること。力は 5 本になるが、すべる寸前という条件が $f_1=\mu N_1$、$f_2=\mu N_2$ の 2 本の関係をくれるので、未知数は実質 $N_1$、$N_2$、$\theta$ の 3 つ。水平・鉛直・モーメントの 3 式で解ける。

① 力のつり合い。 水平: 壁の垂直抗力 $N_2$ と床の摩擦 $f_1=\mu N_1$ がつり合う。

$$N_2=\mu N_1$$

鉛直: $N_1$ と壁の摩擦 $f_2=\mu N_2$ が重力を支える。

$$N_1+\mu N_2=W⟹N_1+{\mu }^2{N}_1=W$$

$$N_1=\frac{W}{1+{\mu }^2}=\frac{W}{1.25}=0.80W$$

② 下端まわりのモーメント。 はしごの長さを $L$ とすると、壁の $N_2$(うで $L\sin \theta$)と $f_2$(うで $L\cos \theta$)が重力($うで\frac{L}{2}\cos \theta$)を支える。

$$N_{2}L\sin \theta +\mu N_{2}L\cos \theta =W\frac{L}{2}\cos \theta$$

$N_2=\mu N_1=\frac{\mu W}{1+{\mu }^2}$ を代入し、$\cos \theta$ で割って整理すると

$$\tan {\theta }_{min}=\frac{1-{\mu }^2}{2\mu }=\frac{1-0.25}{1.0}=0.75$$

まとめ $\tan {\theta }_{min}=0.75$——またも $3:4:5$($\theta \approx 37°$)。壁がなめらかな a01 では $\tan {\theta }_{min}=\frac{1}{2\mu }=1.0$($45°$)だったから、壁の摩擦のおかげで 8° ほど深く寝かせられる。摩擦が 1 か所増えるだけで式は重くなるが、手順(つり合い→モーメント)は何も変わらない。

別解

極端な場合で式を点検するルート。 得た式 $\tan {\theta }_{min}=\frac{1-{\mu }^2}{2\mu }$ に $\mu \to 0$(壁も床もつるつる)を入れると $\tan {\theta }_{min}\to \infty$: 垂直にしか立てられない——正しい。$\mu =1$ なら $\tan {\theta }_{min}=0$: どんなに寝かせてもすべらない——これも直感に合う。

文字式の答えは、極端な値を代入して振る舞いを確かめると、係数のミスの大半を検出できる。$\mu =0.50$ の $0.75$ は、この 2 つの極限の間に素直に収まっている。