箱はどの角度で引くのが楽か

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 水平に引くのがいちばん効率がよさそうに思えるが、そうではない。

斜め上に引くと、上向きの成分のぶん箱が床を押す力が減る。垂直抗力が減れば摩擦力も減るので、必要な力が小さくなる。

しかし角度を上げすぎると、今度は水平方向の成分が足りなくなる。この兼ね合いで最適な角度がある。

式にすると、分母に $\cos \theta +\mu \sin \theta$ という形が現れる。三角関数の合成の出番である。

① 式を立てる。 鉛直方向のつり合い(箱は浮かない)。

$$N+F\sin \theta =W⟹N=W-F\sin \theta$$

水平方向は等速なのでつり合う。摩擦力は $\mu N$ である。

$$F\cos \theta =\mu N=\mu \left(W-F\sin \theta \right)$$

$F$ について解く。

$$F\left(\cos \theta +\mu \sin \theta \right)=\mu W⟹F=\frac{\mu W}{\cos \theta +\mu \sin \theta }$$

② 水平に引く場合。 $\theta =0$ なら

$$F=\mu W=0.75\times 400=300\mathrm{N}$$

③ 最小にする角。 $F$ が最小になるのは分母が最大のときである。分母を合成する。

$$\cos \theta +\mu \sin \theta =\sqrt{1+{\mu }^2}\sin \left(\theta +\phi \right)$$

最大値は $\sqrt{1+{\mu }^2}$ で、そのとき $\theta +\phi =90^{\circ }$ である。$\tan \phi =\frac{1}{\mu }$ だったので、$\theta$ については

$$\tan \theta =\mu =0.75⟹\theta =36.9^{\circ }$$

④ 最小の力。

$$F_{\min }=\frac{\mu W}{\sqrt{1+{\mu }^2}}=\frac{0.75\times 400}{\sqrt{1+0.5625}}=\frac{300}{1.25}=240\mathrm{N}$$

水平に引く場合の $300\mathrm{N}$ と比べると

$$\frac{300-240}{300}=0.20$$

$20\%$ も少ない力で済む。荷物を引くとき、少し上向きに引くほうが楽なのは気のせいではない。

まとめ 「上向きに引くと摩擦が減るが、水平成分も減る」という兼ね合いが、合成によって $\tan \theta =\mu$ という簡潔な条件にまとまる。

発展 — 一歩先へ。 $\tan \theta =\mu$ を満たす角は摩擦角とよばれ、「その角度まで斜面を傾けると物が滑り出す」角度と同じである。

引くときの最適角と、滑り出す斜面の角が一致するのは偶然ではない。どちらも「垂直抗力と摩擦力の合力の向き」で決まっているからである。

なお、押す場合は逆になる。斜め下に押すと垂直抗力が増えて摩擦が増えるので、同じ $36.9^{\circ }$ で押すと必要な力は

$$\frac{\mu W}{\cos \theta -\mu \sin \theta }=\frac{300}{0.8-0.45}\approx 857\mathrm{N}$$

引く場合の $3.6$ 倍にもなる。「重い荷物は押すより引くほうが楽」という経験則が、この式の差として現れている。

別解

摩擦角を使って作図で解くルート。 合成の計算をせずに、力のつり合いの図から答えを出せる。

箱にはたらく力は $3$ つ、重力 $W$、床からの力(垂直抗力と摩擦力の合力)、そしてひもの張力 $F$ である。$3$ 力のつり合いなので、これらは三角形をつくる。

ここで、床からの力の向きに注目する。箱が滑っているとき、摩擦力は $\mu N$ なので、床からの力は鉛直から ${\tan }^{-1}\mu$ だけ傾いている。この角は $\theta$ によらずつねに一定である。

つまり力の三角形は、「$W$ の長さと向きが決まっている」「床からの力の向きが決まっている」ので、$F$ の向きだけが自由である。

三角形の $1$ 辺($W$)と、$1$ つの角(床の力の向き)が固定されているとき、$F$ の長さが最小になるのは、$F$ が床からの力に垂直なときである。点から直線への最短距離が垂線であるのと同じ理屈である。

床の力が鉛直から ${\tan }^{-1}\mu$ 傾いているので、それに垂直な向きは水平から ${\tan }^{-1}\mu$ 傾いた向きである。

$$\theta ={\tan }^{-1}\mu =36.9^{\circ }$$

そして最小値は $W\sin ({\tan }^{-1}\mu )=W\frac{\mu }{\sqrt{1+{\mu }^2}}=240\mathrm{N}$ ✓

三角関数の合成を知らなくても、「垂線が最短」という幾何だけで答えが出る。