物理 / 剛体のつり合い

はしごをどこまで登れるか

★★★ 応用はしご摩擦

問題

長さ $5.0 m$ 、重さ $100 N$ の一様なはしごを、なめらかな壁に床と $45°$ をなすように立てかける。床との静止摩擦係数は $0.50$ である。重さ $500 N$ の人は、はしごに沿って下端から何 m のところまで登れるか。

45° のはしごを人が登る。どこまで登るとすべり出すか

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s05 で人の位置を変数 d にした式 N_W=(100×2.5+500d)/5.0 を作り、すべらない条件 N_W≤μ×(全体重)に流し込む。登るほど N_W が増える、という向きを意識して不等式を解こう。

解答・解説

人の位置を d として床まわりのモーメントで N_W を d の式にする(45° で三角比が消える)。f=N_W≤μN=0.50×600=300 N の条件から d の上限を出す。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 人が登るほど壁への力 $N_{W}$ が増え(s05)、床の摩擦がそれを支えきれなくなった瞬間にはしごはすべる。 $N_{W}$ を人の位置 $d$ の式にして、摩擦の上限と比べる——この 2 段で、登れる限界が出る。

① N_W を d の式にする。 床の接点まわりのモーメント( $45°$ で三角比は消える)より

$N_{W} \times 5.0 = 100 \times 2.5 + 500 \times d ⟹ N_{W} = 50 + 100 d$

② 摩擦の上限。 鉛直のつり合いより $N = 100 + 500 = 600 N$ 。水平のつり合いより $f = N_{W}$ 。すべらない条件は

$N_{W} \leq μ N = 0.50 \times 600 = 300 N$

③ d の上限。

$50 + 100 d \leq 300 ⟹ d \leq 2.5 m$

はしごの中点までしか登れない。

まとめ はしご(a01)の条件 $tan 45° = 1.0 \geq \frac{1}{2 μ} = 1.0$ は等号ぎりぎり——人がいなくても限界の立てかけ方だった。そこに人が乗ると、少し登っただけで限界を超える。「登れる高さ」は角度と摩擦の余裕の写し絵である。

答

$2.5 m$ (はしごの中点)まで

限界状態から逆算するルート。 すべる寸前は $f = μ N = 300 N$ 、よって $N_{W} = 300 N$ 。床まわりのモーメントに戻すと

$300 \times 5.0 = 100 \times 2.5 + 500 d ⟹ 1500 = 250 + 500 d ⟹ d = 2.5 m$

不等式を等式(臨界)で置き換えて解く流儀。答えは同じで、「限界のときに何が起きているか」が式の上で見えやすい。