2本の指を近づけると、なぜ必ず重心で出会うのか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 誰でも一度は試したことがある現象である。棒のどこを持っても、指を近づけていくと 必ず重心で出会う 。棒が一様でなくても、目をつぶっていても、重心が当てられる。

なぜそうなるのかは、2つの事実の組み合わせで説明できる。1つ目、2本で支えるときの垂直抗力は重心からの距離の逆比 になる。2つ目、摩擦の上限は垂直抗力に比例する 。

この2つから「遠いほうの指がすべる」が出る。すべった指が近づくと立場が入れかわり、こんどはもう一方がすべる。これをくり返すと、どちらも重心へ追い込まれていく。

① 垂直抗力の比。 棒にはたらく力は、重力 $W$(G にはたらく)と、2本の指からの垂直抗力 $N_{\text{左}}$、$N_{\text{右}}$ である。G から左の指までを $a$、右の指までを $b$ とする。

G のまわりのモーメントのつり合いから

$$N_{\text{左}}a=N_{\text{右}}b⟹N_{\text{左}}:N_{\text{右}}=b:a$$

いまは $a=0.30$、$b=0.70$ だから

$$N_{\text{左}}:N_{\text{右}}=0.70:0.30=7:3$$

② 先にすべるのはどちらか。 指がすべり出さないためには、必要な摩擦力が静止摩擦の上限 $\mu N$ を超えないことが要る。$N$ が小さいほど上限は小さい。

いま $N_{\text{右}}$ のほうが小さいのだから、右の指のほうが先に限界に達する 。つまり G から遠いほうの指がすべる 。

指を動かすと棒は指の上をすべるが、棒自身は静止したままである。棒にはたらく水平方向の力は左右の摩擦力だけで、それらはつり合っていなければならない。

③ 役が入れかわる位置。 右の指がすべっているあいだ、その指にはたらくのは動摩擦で ${\mu }^{\prime }{N}_{\text{右}}$ である。左の指は止まっているので、静止摩擦がこれとつり合っている。左がすべり出さない条件は

$${\mu }^{\prime }{N}_{\text{右}}\le \mu N_{\text{左}}$$

右の指が近づくと $b$ が小さくなり、$N_{\text{右}}$ は大きくなっていく。等号が成り立った瞬間に、こんどは左がすべり始める。

$${\mu }^{\prime }{N}_{\text{右}}=\mu N_{\text{左}}$$

垂直抗力を距離で書きかえる。$N_{\text{右}}\propto a$、$N_{\text{左}}\propto b$ だったから

$${\mu }^{\prime }a=\mu b⟹b=\frac{{\mu }^{\prime }}{\mu }a=0.50\times 0.30=0.15\mathrm{m}$$

右の指が G から $0.15\mathrm{m}$ の位置まで来たところで、役が交代する。

④ 最後はどこで出会うか。 交代のたびに、いまの式が左右を入れかえて成り立つ。次は左の指が

$$a=\frac{{\mu }^{\prime }}{\mu }b=0.50\times 0.15=0.075\mathrm{m}$$

まで進んで交代する。以下同じことのくり返しで、交代のたびに G からの距離が $0.50$ 倍になる。

$$0.30\to 0.15\to 0.075\to 0.0375\to \cdots$$

どちらの距離も $0$ に近づくから、2本の指は 重心 G で出会う 。

重心の位置を知らなくても、どこから始めても、指は勝手にそこへ集まる。棒が一様でなくてもよい ところがこの現象の面白さである。

まとめ 「支える力は距離の逆比」と「摩擦の上限は垂直抗力に比例」の2つを並べると、遠いほうがすべるという結論が出る。あとは交代がくり返され、幾何数列で重心へ収束する。身のまわりの現象が、つり合いの2本の式で説明できる。

発展 — 一歩先へ。 交代の比 $\frac{{\mu }^{\prime }}{\mu }$ は、静止摩擦と動摩擦の差そのものである。もし ${\mu }^{\prime }=\mu$(差がない)なら、比が $1$ になって交代は起こらず、片方の指だけがすべり続けて G に達する。それでも最後に出会うのは G である。

つまり この現象は摩擦係数の値によらない。 指が乾いていても濡れていても、手袋をしていても、出会う場所は重心である。実験で確かめやすいのに、結論が材質によらないという意味で、なかなか気持ちのよい現象である。

別解

「必ず G で出会う」だけを示すルート。 交代の位置を追いかけなくても、結論だけなら背理法で言える。

指が出会った点を X としよう。もし X が G と違う点なら、そこは G の左か右にある。仮に X が G より左だとする。

すると、2本の指はどちらも G より左にあることになる。棒にはたらく力は、この2本の垂直抗力(どちらも上向き)と重力である。上向きの力の作用点がどちらも G より左にあるのだから、G のまわりのモーメントは打ち消し合えない。

$$N_{\text{左}}{a}_1+N_{\text{右}}{a}_2>0$$

つまり棒は G のまわりに回り出してしまい、水平を保てない。X が G より右にあるとしても同じである。

したがって 2本の指が出会える点は G しかない。 途中でどうすべるかを追わなくても、「棒が水平のまま支えられている」という条件だけから場所が決まってしまう。

本文の解き方が「どうやってそこへ行くか」を追う道なら、こちらは「行き先はそこしかない」と先に決める道である。過程を追う解き方と、条件から行き先を絞る解き方 の両方を持っておくと、見通しがよくなる。