立てかけたはしご(なめらかな壁)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 はしご問題は力が 4 本(重力・壁の $N_W$・床の $N$・床の摩擦 $f$)も出てくるが、床の接点には未知の力が 2 本集まっている。ここを基準にモーメントを立てれば、$N$ と $f$ が一度に消えて $N_W$ だけの式になる。

① 床の接点まわりのモーメント。 はしごの長さを $L=5.0\mathrm{m}$ とすると、壁の力のうで=$L\sin 45°$、重力のうで=$\frac{L}{2}\cos 45°$。

$$N_W\times L\sin 45°=200\times \frac{L}{2}\cos 45°$$

$45°$ では $\sin 45°=\cos 45°$ で両辺から消え、

$$N_W=\frac{200}{2}=100\mathrm{N}$$

② 力のつり合い。 水平: 壁は水平に押すだけ(なめらか)だから

$$f=N_W=100\mathrm{N}$$

鉛直: $N=200\mathrm{N}$。

③ すべらない条件。

$$f\le \mu N⟹\mu \ge \frac{100}{200}=0.50$$

まとめ はしごを支えているのは実は床の摩擦である($f$ がなければ足元が滑って倒れる)。$45°$ で ${\mu }_{min}=0.50$、もっと寝かせると必要な $\mu$ は増える(その一般式が a01)。

別解

壁との接点まわりで立てるルート。 上端まわりのモーメントのつり合いは

$$N\times L\cos 45°=f\times L\sin 45°+200\times \frac{L}{2}\cos 45°$$

$N=200$ を入れると $200=f+100$ より $f=100\mathrm{N}$。床まわりの結果と一致する。基準点はどこでもよいが、未知数が最も多く消える点を選ぶと計算が短い——その感覚を養うための比較である。