物理 / 剛体のつり合い

円柱を段差に乗り上げさせる

★★★ 応用力のモーメント段差

問題

半径 $0.50 m$ 、重さ $300 N$ の一様な円柱を、高さ $0.10 m$ の段差に乗り上げさせたい。円柱の軸(中心)に水平な力 $F$ を加えるとき、乗り上げ始めるのに必要な $F$ の最小値を求めよ。

軸に水平な力を加え、段差の角 P に乗り上げさせる

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乗り上げる瞬間、床からの力は 0 になり、円柱は段差の角 P とだけ接している。P のまわりで F と重力のモーメントを比べよう。それぞれのうでの長さは、中心と P の位置関係(直角三角形)から三平方で出せる。

解答・解説

乗り上げ始める瞬間、円柱は段差の角 P だけで支えられる。P まわりで、F のモーメント(うで=中心の高さ−段差)と重力のモーメント(うで=水平距離)がつり合う。うでは三平方で求める。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 乗り上げ始める瞬間、円柱を支えるのは段差の角 P ただ 1 点(床からの垂直抗力は 0)。P まわりのモーメントのつり合いが臨界条件になる。あとは、中心 O と P の位置関係から 2 つのうでの長さを幾何で出すだけである。

① うでの長さを求める。 中心 O は P より $r - h = 0.50 - 0.10 = 0.40 m$ 高い。O と P の距離は半径 $0.50 m$ だから、水平距離は三平方で

$0.5 0^{2} - 0.4 0^{2} = 0.25 - 0.16 = 0.09 = 0.30 m$

② P まわりのつり合い(臨界)。

$F \times 0.40 = 300 \times 0.30$

③ 解く。

$F = \frac{90}{0.40} = 225 N$

O—P の直角三角形 0.30-0.40-0.50 が 2 つのうでを決める

まとめ $0.30 : 0.40 : 0.50$ ——ここにも $3 : 4 : 5$ が現れる。段差が高いほど( $h \to r$ )重力のうでが伸び、 $F$ のうでが縮むので、必要な力は急増する。台車の車輪が大きいほど段差に強い理由が、この幾何に書かれている。

答

$225 N$ ( $\approx 2.3 \times 1 0^{2} N$ )

力の向きを工夫する視点(発展)。 力を中心に加えるとき、必要な力が最小になる向きは水平とは限らない。P まわりのうでが最大になるのは、O と P を結ぶ半径に垂直な向きに押すときで、そのときのうでは半径 $0.50 m$ そのもの。

$F_{min} = \frac{300 \times 0.30}{0.50} = 180 N$

水平押し( $225 N$ )より 2 割も軽い。「同じ点に加えるなら、うでが最大になる向きが最小の力」——モーメントの定義から直接出る、覚えておいて損のない上級の視点である。