斜面上の物体は倒れるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 転倒の判定基準はただ 1 つ。重心から下ろした鉛直線が、底面(支持面)の内側を通るか。内側なら重力は物体を底面に押し戻す向きに回し、外に出たら下端の角のまわりに倒す向きに回す。

① 物体の形の比。 幅 $b=0.60\mathrm{m}$、高さ $h=1.2\mathrm{m}$ だから

$$\frac{b}{h}=\frac{0.60}{1.2}=0.50$$

② 斜面の傾きと比較。

$$\tan 30°=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{1.73}=0.58$$

③ 判定。 $\tan 30°=0.58>0.50$ なので、鉛直線は底面の下端の角より外に出る。よって倒れる。

まとめ 背が高く底の狭い物体ほど $b/h$ が小さく、緩い傾きでも倒れる。バスの荷棚の背の高い荷物が倒れやすい理由がこの式に入っている。すべりの判定($\mu$ との比較)とは独立の条件であることも、次の段階(s09)で効いてくる。

別解

幾何で直接見るルート。 重心は直方体の中心(底面から $0.60\mathrm{m}$、幅方向の中央)。鉛直線が底面の下端の角を通る条件は、中心から底面の角へのベクトルの傾きが鉛直と一致すること。

中心から下端の角までは、幅方向 $0.30\mathrm{m}$・高さ方向 $0.60\mathrm{m}$ で、その傾き($\tan$)は $0.30/0.60=0.50$。斜面が $30°$ 傾くと鉛直線は斜面に対し $30°$ 傾き、$\tan 30°=0.58>0.50$ だから角を越える。図を描いて角度を測る、という原始的な方法でも同じ判定に着く。