物理 / 剛体のつり合い

両端で支えた棒(非対称な荷重)

★★ 標準剛体のつり合いモーメントのつり合い

問題

長さ $2.0 m$ 、重さ $40 N$ の一様な棒 AB を A 端と B 端で支え、A から $0.50 m$ の点に重さ $60 N$ のおもりを下げて水平に保った。A、B の支える力 $N_{A}$ 、 $N_{B}$ をそれぞれ求めよ。

棒の重さ 40 N は中央に。おもり 60 N は A 寄りに下がる

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b05 との違いは、棒自身に重さがあること。棒の重さを「中央に置いた 1 つのおもり」として扱えば、あとは同じ手順で解ける。

解答・解説

棒の重さ 40 N は中央(A から 1.0 m)にはたらく。A まわりのモーメントで N_B を出し、力のつり合いで N_A。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 一様な棒の重さは中央の重心にはたらく 1 本の力として扱う。すると「おもり 2 つ+支え 2 つ」の問題になり、b05 と同じ型に落ちる。未知の力の作用点(A)まわりでモーメントを立てる。

① A まわりのモーメント。 反時計回り( $N_{B}$ )=時計回り(棒の重さ+おもり)より

$N_{B} \times 2.0 = 40 \times 1.0 + 60 \times 0.50 = 40 + 30 = 70$

$N_{B} = 35 N$

② 力のつり合い。

$N_{A} + N_{B} = 40 + 60 = 100 ⟹ N_{A} = 100 - 35 = 65 N$

まとめ 「棒の重さは重心に集める」が入った瞬間、どんな棒の問題も b05 の型に帰着する。おもりが A 寄りだから $N_{A} > N_{B}$ という向きの確認も忘れずに。

答

$N_{A} = 65 N$ 、 $N_{B} = 35 N$

B まわりで立てるルート。 B まわりのモーメントのつり合いは

$N_{A} \times 2.0 = 40 \times 1.0 + 60 \times 1.5 = 40 + 90 = 130 ⟹ N_{A} = 65 N$

力のつり合いから $N_{B} = 100 - 65 = 35 N$ 。どちらの端から立てても同じ答えに着く。おもりから B までの距離が $2.0 - 0.5 = 1.5 m$ になる点だけ注意すればよい。