積み木のオーバーハング(2 枚)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 各段の限界は「その段より上の全体の重心が、支えの縁の真上に来るとき」である(s02 の原理)。上の板から順に、1 段ずつ限界を決めていく。

① 上の板の限界。 上の板を支えるのは下の板の端。上の板(重心は中央)は、重心が下の板の端に来るまで、つまり長さの半分

$$\frac{0.40}{2}=0.20\mathrm{m}$$

まで張り出せる。

② 下の板の限界。 テーブルの端が支えるのは「板 2 枚の合計」。その合成重心がテーブルの端に来るのが限界である。下の板の端を原点に取ると、下の板の重心は $-0.20\mathrm{m}$、上の板の重心は $0\mathrm{m}$(①の限界で端の真上)。合成重心は

$$\frac{W\times (-0.20)+W\times 0}{2W}=-0.10\mathrm{m}$$

つまり合成重心は下の板の端から $0.10\mathrm{m}$ 内側。ここがテーブルの端に一致するまで、すなわち下の板は

$$0.10\mathrm{m}$$

だけ張り出せる。

③ 先端の張り出し。

$$0.20+0.10=0.30\mathrm{m}$$

板の長さの $\frac{3}{4}$ がテーブルの外に出る。

まとめ 限界の系列は $\frac{L}{2},\frac{L}{4},\frac{L}{6},\dots$ と続き(3 枚目は $L/6$)、枚数を増やすと張り出しの合計はいくらでも大きくできる(調和級数)。「上から順に、上側全体の重心で判定」——この再帰の構造が積み木問題の背骨である。

別解

下の板まわりのモーメントで確かめるルート。 ②の限界で、テーブルの端(支点)まわりのモーメントを検算する。下の板の重心は端から内側 $0.10\mathrm{m}$、上の板の重心は外側 $0.10\mathrm{m}$。

$$W\times 0.10(内)とW\times 0.10(外)$$

がちょうどつり合い、確かに臨界である。重心で判定しても、モーメントで判定しても同じ——重心の判定法はモーメントのつり合いの言い換えにすぎない。