テーブルの端からどこまで出せるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 傾く直前の状態では、棒はテーブル面から浮き上がりかけ、テーブルの端の 1 点だけが支点になる。この端まわりで、内側(棒の重心)と外側(おもり)のモーメントがつり合う限界を式にする。

① 重心の位置を表す。 張り出しを $L$ とすると、棒の重心(中央)はテーブルの端から内側に $1.0-L$ の位置にある。

② 端まわりのつり合い(限界)。

$$60\times (1.0-L)=20\times L$$

③ 解く。

$$60-60L=20L⟹L=\frac{60}{80}=0.75\mathrm{m}$$

まとめ おもりがなければ重心が端に来るまで、つまり $1.0\mathrm{m}$ まで出せる。先端の $20\mathrm{N}$ がその余裕を $0.25\mathrm{m}$ 削った形である。「傾く直前=端の 1 点支持」という状態の読み替えが、この型の問題の入口になる。

別解

全体の重心で考えるルート。 棒とおもりを合わせた系の重心が、テーブルの端の真上に来るときが限界である。棒の中央を原点に、先端(おもり)を $+1.0\mathrm{m}$ とすると、系の重心は

$$x_G=\frac{60\times 0+20\times 1.0}{80}=0.25\mathrm{m}$$

つまり重心は棒の中央から先端側に $0.25\mathrm{m}$。この点が端に一致するとき、張り出しは $1.0-0.25=0.75\mathrm{m}$。「系全体の重心が支持面の縁に来たら限界」という転倒の一般原理そのままである。