糸巻きはどちらへ転がるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 糸巻きには、引く力・重力・垂直抗力・摩擦力の4つがはたらく。摩擦力は大きさも向きも分からない ので、これを含んだままでは手が出ない。

そこで、床との接触点 P を支点にとる 。垂直抗力も摩擦力も接触点にはたらくから、この点のまわりでは腕が $0$ で、モーメントに一切効かない。重力は鉛直で、中心の真下が P だから、これも腕が $0$ である。

残るのは引く力ただ1つになる。その作用線が P のどちら側を通るか で、転がる向きが決まってしまう。分からない力を消せる支点を選ぶ、これがモーメントの使いどころである。

① 水平に引く。 糸は内側の軸の下側、つまり床から高さ $R-r$ のところから水平に出ている。この作用線と接触点 P との距離、すなわち腕は

$$R-r=0.20-0.12=0.080\mathrm{m}$$

引く力は P より上を通るので、糸巻きを 引く側へ転がす向き のモーメントを与える。力を $F$ とすれば、その大きさは $F\times 0.080$ である。

つまり糸巻きは 手のほうへ転がってくる 。糸を引けば糸巻きは逃げていきそうに思えるが、逆である。

② 真上に引く。 このときは糸が軸の横から出ることになり、作用線は鉛直で、P からの距離は $r=0.12\mathrm{m}$ である。

作用線は P に対して 反対側 を通るので、モーメントの向きも逆になる。糸巻きは 手から遠ざかる向き に転がる。

③ 転がらない角。 転がらないのは、引く力のモーメントが $0$ になるとき、つまり 作用線がちょうど接触点 P を通るとき である。

糸は内側の円に接する向きに出るから、作用線と中心 O との距離はつねに $r$ である。この作用線が P を通るとすると、$\mathrm{OP}=R$ を斜辺、$r$ を1辺とする直角三角形ができる。$\mathrm{OP}$ は鉛直、作用線は水平から $\theta$ だから、$\mathrm{OP}$ と作用線のなす角は $90^{\circ }-\theta$ である。

$$\sin (90^{\circ }-\theta )=\frac{r}{R}⟹\cos \theta =\frac{r}{R}=\frac{0.12}{0.20}=0.60$$

$$\theta \fallingdotseq 53^{\circ }$$

これより浅く引けば手のほうへ、これより立てて引けば向こうへ転がる。同じ糸巻きが、引く角ひとつで進む向きを変える。

④ 糸の長さと進む距離。 すべらずに転がるので、回転角を $\phi$ とすると糸巻きの中心は $R\phi$ 進む。一方、糸が繰り出される(引き込まれる)長さは、内側の軸で測って

$$R\phi -r\phi =(R-r)\phi$$

である。糸巻きが進むぶんだけ糸も巻き取られるので、手もとに来る糸はその差になる。

$$\frac{\text{進む距離}}{\text{引いた糸の長さ}}=\frac{R}{R-r}=\frac{0.20}{0.080}=2.5$$

糸を $1.0\mathrm{m}$ 引くと、糸巻きは $2.5\mathrm{m}$ 進む。手の動きより速く近づいてくる わけである。

まとめ 分からない力があるときは、その力が消える点を支点に選ぶ。転がる物体では接触点がその点になる。あとは「作用線が支点のどちら側か」を見るだけで、向きが決まる。

発展 — 一歩先へ。 ③の $\cos \theta =\frac{r}{R}$ という条件は、$r$ が $R$ に近いほど $\theta$ が小さくなることを意味する。軸が太い糸巻きは、少し引く角を立てただけで向こうへ転がってしまう。

逆に $r\to 0$(糸が中心から出る細い軸)では $\theta \to 90^{\circ }$ となり、真上に引く以外はすべて手前に転がる。極端な場合を考えて式の意味を確かめる、この習慣は答えの検算にもなる。

別解

中心のまわりで考えるルート。 接触点を使わず、中心 O のまわりのモーメントで考えることもできる。こちらは摩擦力を消せないので、代わりに 摩擦力を未知数として残し、並進の式と連立 することになる。

糸巻きの質量を $M$、慣性の効果は考えず「転がり出す向き」だけを見る。中心まわりのモーメントは、引く力から $Fr$、摩擦力 $f$ から $fR$ である。水平方向の運動は $F$ と $f$ で決まる。

すべらずに転がる条件を課すと、この2式から $f$ が決まる。水平に引く場合を計算すると

$$f=-\frac{F(R-r)R}{R^2+k^2}(k\text{は回転のしにくさを表す長さ})$$

のように、$R-r$ の符号がそのまま向きを決めることが分かる。結局 $R-r$ が正か負かという同じ判定 に行き着く。

こうして比べてみると、接触点を支点に選ぶ解き方が、いかに手数を減らしているかが分かる。未知の力を消す支点を選ぶ という一手だけで、連立方程式が1本の判定に化けている。

なお、実際に糸巻きが転がるには摩擦が十分にあることが必要である。つるつるの床では、糸巻きは回るだけで進まない。判定そのものは接触点で決まるが、その前提として「すべらない」ことが要る 点は忘れないようにしたい。