物理 / 剛体のつり合い

両端で支えた棒(対称な場合)

★ 基礎剛体のつり合い

問題

長さ $2.0 m$ 、重さ $50 N$ の一様な棒 AB の中央に、重さ $20 N$ のおもりを下げ、A 端と B 端を支えて水平に保った。A、B の支える力をそれぞれ求めよ。

重心もおもりも中央の対称な配置。N_A=N_B になる

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この配置には特別な性質がある。左右をそっくり入れ替えても同じ図になる(対称)。対称なら、2 つの支える力の関係はどうなっているはずか。

解答・解説

棒の重心もおもりも中央にあり、左右対称。合計 70 N を半分ずつ支える。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 棒は一様(重心が中央)で、おもりも中央。左右対称な配置では、対称な位置の力は等しい。 $N_{A} = N_{B}$ と最初から決められるので、力のつり合いだけで解ける。

① 力のつり合い。 下向きは棒の重さ $50 N$ とおもり $20 N$ 。

$N_{A} + N_{B} = 50 + 20 = 70 N$

② 対称性で分ける。 $N_{A} = N_{B}$ より

$N_{A} = N_{B} = \frac{70}{2} = 35 N$

まとめ 対称性に気づけばモーメントの式は不要になる。逆に、おもりが中央からずれた瞬間に対称性は崩れ、モーメントの式が必要になる(それが s01)。「対称かどうか」を最初に見る習慣は、剛体の問題全体で時間の節約になる。

答

どちらも $35 N$

モーメントで律儀に確かめるルート。 A まわりで

$N_{B} \times 2.0 = 50 \times 1.0 + 20 \times 1.0 = 70 ⟹ N_{B} = 35 N$

力のつり合いから $N_{A} = 70 - 35 = 35 N$ 。対称性の答えと一致する。対称性は「モーメント計算の省略形」であって別の原理ではない、と確認できる。