はしごがすべらない条件(一般式)

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 標準のはしごの問題でやった数値計算を、文字で一般化する。狙いは「どこまで寝かせられるか」を $\mu$ だけで書くこと。手順は同じで、床まわりのモーメント、次に力のつり合い、最後に摩擦の不等式の順に進める。

① 床の接点まわりのモーメント。 はしごの長さを $L$ とすると

$$N_W\times L\sin \theta =W\times \frac{L}{2}\cos \theta$$

$$N_W=\frac{W\cos \theta }{2\sin \theta }=\frac{W}{2\tan \theta }$$

($L$ は消えるので、はしごの長さによらない。)

② すべらない条件。 水平のつり合いより $f=N_W$、鉛直より $N=W$。$f\le \mu N$ に代入して

$$\frac{W}{2\tan \theta }\le \mu W⟹\tan \theta \ge \frac{1}{2\mu }$$

③ μ=0.50 の場合。

$$\tan \theta \ge \frac{1}{2\times 0.50}=1.0⟹\theta \ge 45°$$

最小の角は $45°$。

まとめ寝かせるほど($\theta$ 小)$N_W$ が増えて摩擦の限界を超える。式が「はしごは立てて使え」と言っている。$W$ も $L$ も消えて $\mu$ だけで決まることが、文字式で解いて初めて分かる。

別解

限界の状態だけを直接解くルート。 すべる寸前では $f=\mu N=\mu W$ が確定している。水平のつり合いから $N_W=\mu W$。これを床まわりのモーメント

$$N_{W}L\sin \theta =W\frac{L}{2}\cos \theta$$

に入れると $\mu \tan \theta =\frac{1}{2}$、つまり限界角は $\tan {\theta }_{min}=\frac{1}{2\mu }$。不等式で解いても、臨界の等式で解いても、同じ結論が得られる。