物理 / 剛体のつり合い

腕の長さが違う天秤で正しい質量を出す

★★★★ 難関てこ天秤系統誤差

問題

左右の腕の長さがわずかに違う天秤がある。ある品物の質量を測るのに、次の2回の測定を行った。

1回目: 品物を左の皿に、分銅を右の皿に載せてつり合わせると、分銅は $5.0 kg$ だった。
2回目: 品物を右の皿に、分銅を左の皿に載せてつり合わせると、分銅は $7.2 kg$ だった。

皿と腕自身の重さは左右で等しく、つり合いに影響しないものとする。

(1) 2回の測定値が違ってしまう理由を述べよ。

(2) 品物の本当の質量を求めよ。

(3) 左右の腕の長さの比を求めよ。

(4) 2回の測定値の平均 $\frac{5.0 + 7.2}{2}$ を答えとすると、本当の値より大きいか小さいか。理由とともに答えよ。

腕の長さが違う天秤。1回目は品物を左に、2回目は左右を入れかえて測る

ヒントを見る

2回の測定を式にすると、腕の比がどちらの式にも入る。2つの式をどう組み合わせれば、その比を消せるか。

解答・解説

方針

つり合いの条件は「質量 × 腕」が左右で等しいこと。左右を入れかえて2回測ると、腕の比がそれぞれ逆向きに効く。2つの式を掛け合わせると腕の比が消え、割り算すると腕の比が残る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 天秤がつり合うのは「質量が等しいとき」ではない。正しくは 「質量 × 腕の長さ」が左右で等しいとき である。腕が違えば、読みは腕の比だけずれる。

大事なのは、左右を入れかえると、そのずれが逆向きに出る ことである。1回目は本当の値より小さく、2回目は大きく出る。

ずれが逆向きなら、2つを組み合わせて消せるはずである。掛けるか、割るか。掛ければ腕の比が消えて質量が残り、割れば質量が消えて腕の比が残る。ほしいものに応じて掛け算と割り算を使い分ける のがこの問題の骨である。

① 測定値が違う理由。 左の腕を $a$ 、右の腕を $b$ 、品物の本当の質量を $m$ とする。

1回目(品物が左、分銅 $m_{1}$ が右):

$m a = m_{1} b ⟹ m_{1} = m \frac{a}{b}$

2回目(品物が右、分銅 $m_{2}$ が左):

$m b = m_{2} a ⟹ m_{2} = m \frac{b}{a}$

$a \neq = b$ なら $m_{1} \neq = m_{2}$ である。一方は本当の値より小さく、他方は大きい。

重要天秤がつり合う条件は「質量 × 腕」。腕が等しいときだけ、読みがそのまま質量になる

② 本当の質量。 2つの式を掛ける。

$m_{1} m_{2} = m \frac{a}{b} \times m \frac{b}{a} = m^{2}$

腕の比がきれいに消えた。

$m = m_{1} m_{2} = 5.0 \times 7.2 = 36 = 6.0 kg$

腕の長さを知らなくても、本当の質量が出る。 測定器の欠点を、測り方の工夫だけで打ち消したことになる。

左右を入れかえた2回の測定。ずれが逆向きに出るので、掛け合わせると打ち消し合う

③ 腕の比。 こんどは2つの式を割る。

$\frac{m _{1}}{m _{2}} = \frac{a / b}{b / a} = (\frac{a}{b})^{2}$

$\frac{a}{b} = \frac{m _{1}}{m _{2}} = \frac{5.0}{7.2} = \frac{25}{36} = \frac{5}{6}$

左の腕(1回目に品物を載せた側)のほうが短い。短い腕に品物を載せると、必要な分銅は少なくてすむので、 $5.0 kg$ という小さい読みになったわけである。

④ 平均を使うと。 単純に平均すると

$\frac{5.0 + 7.2}{2} = 6.1 kg$

本当の値 $6.0$ より $0.1 kg$ 大きい。これは偶然ではない。

$\frac{m _{1} + m _{2}}{2} \geq m_{1} m_{2}$

は相加平均と相乗平均の関係で、等号は $m_{1} = m_{2}$ のとき、つまり腕が等しいときだけである。平均を使うと必ず大きめに出る。

$\frac{m _{1} + m _{2}}{2} = \frac{m}{2} (\frac{a}{b} + \frac{b}{a})$

と書くと、括弧の中が $2$ 以上であることからも同じ結論が出る。

まとめ 道具に欠点があるとき、道具を直す以外に 測り方で打ち消す 手がある。左右を入れかえて2回測り、掛け合わせる。この「入れかえて2回」は、系統的なずれを消す一般的な作戦である。

発展 — 一歩先へ。 同じ考えは、光学の実験で像の位置を測るとき、装置を左右反転して2回測る といった場面にも現れる。向きを変えても変わらない量(ここでは本当の質量)と、向きで符号が変わるずれ(腕の比)を分けるのが要点である。

もう1つの手として、置換法 がある。まず品物を左の皿に載せてつり合う分銅を右に置く。次に品物だけを下ろし、同じ皿に別の分銅を載せて同じつり合いを再現する。この2つ目の分銅の合計が、腕の長さによらず本当の質量である。同じ場所・同じつり合いで比べれば、道具の癖は最初から入ってこない。

答

(1) つり合うのは「質量 × 腕の長さ」なので、腕が違うと読みが腕の比だけずれるから (2) $5.0 \times 7.2 = 6.0 kg$ (3) $5 : 6$ (短いほうが品物を載せた側) (4) 平均は $6.1 kg$ で本当の値より大きい。相加平均は相乗平均以上だから

別解

腕の比を先に求めるルート。 質量を先に消すのでなく、腕の比を先に出してから代入することもできる。

$m_{1} = 5.0$ 、 $m_{2} = 7.2$ の比を作る。

$\frac{m _{2}}{m _{1}} = \frac{7.2}{5.0} = 1.44 = (\frac{b}{a})^{2} ⟹ \frac{b}{a} = 1.2$

腕の比が $1 : 1.2 = 5 : 6$ と分かった。あとは1回目の式に戻す。

$m = m_{1} \frac{b}{a} = 5.0 \times 1.2 = 6.0 kg$

2回目の式で確かめても

$m = m_{2} \frac{a}{b} = 7.2 \times \frac{1}{1.2} = 6.0 kg$

同じ値である。2つの式のどちらに戻しても同じ答えになる ことが、計算の正しさの確認になる。

$1.44$ がちょうど $1.2$ の2乗だと気づけるかどうかが分かれ目である。 $5.0 \times 7.2$ を平方数に整えるのと、 $\frac{7.2}{5.0}$ を平方数に整えるのは、同じ計算を別の順で行っているにすぎない。掛けて質量、割って腕の比 という組み合わせを覚えておくと、どちらからでも入れる。

ポイント

天秤のつり合いは「質量 × 腕」。腕が違うと読みは腕の比だけずれる
左右を入れかえて2回測り、掛け合わせると腕の比が消える。真の質量は $m_{1} m_{2}$
2つを割れば腕の比が出る。平均を使うと相加相乗の関係で必ず大きめになる

よくある間違い

2回の測定値の平均を答えにしてしまう。正しいのは相乗平均(掛けて平方根)
どちらか一方の測定を「正しいほう」と決めてしまう。どちらも腕の比だけずれている
腕の比を $m_{1} / m_{2}$ そのものとしてしまう。比は2乗の形で入るので平方根が要る