物理 / 剛体のつり合い

つり下げたモビールの重さを決める

★★★★ 難関力のモーメント重心多段

問題

軽い棒と糸で、3段のモビールを作る。全体の重さは $90 g$ 分である。

いちばん上の棒: 糸でつるした点から左へ $20 cm$ のところにおもり $m_{1}$ 、右へ $10 cm$ のところに2段目の棒全体がぶら下がる。
2段目の棒: つるした点から左へ $5.0 cm$ におもり $m_{2}$ 、右へ $15 cm$ に3段目の棒全体がぶら下がる。
3段目の棒: つるした点から左へ $2.0 cm$ におもり $m_{4}$ 、右へ $4.0 cm$ におもり $m_{5}$ 。

すべての棒が水平につり合っているとする。

(1) $m_{1}$ と、2段目より下の全体の重さを求めよ。

(2) $m_{2}$ 、 $m_{4}$ 、 $m_{5}$ を求めよ。

(3) $m_{5}$ だけを $5 g$ 重くしてしまった。3段目の棒のつるす点をどこへ動かせば、3段目は水平に戻るか。

(4) (3) のあと、モビール全体はもとどおりつり合うか。

3段のモビール。棒と糸は軽く、全体で 90 g 分の重さがある

ヒントを見る

下の段の棒とおもりをひとまとめにすると、上の段からは何に見えるか。各段のつり合いは、重さと腕のどんな関係か。

解答・解説

方針

各段の棒では、ぶら下がっているものの重さ × 腕がつり合う。下の段の棒全体は、上の段から見れば「1つのおもり」として扱える。上から順に、逆比で重さを分けていけばよい。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 段が3つもあると複雑に見えるが、仕掛けは1つしかない。下の段のかたまりは、上の段から見れば1つのおもり である。

その「1つのおもり」の重さは、下にぶら下がっているもの全部の合計で、ぶら下がる位置はつるした糸の点である。こう見れば、各段はただの「棒の両側におもりが1つずつ」というつり合いになる。

上の段から順に、全体の重さを逆比で2つに分けていけば、すべての重さが決まる。分けるときの比は、腕の逆比 である。

① いちばん上の段。 左の腕 $20$ 、右の腕 $10$ である。つり合いの条件は

$m_{1} \times 20 = (右にぶら下がる全体) \times 10$

左右の重さの比は腕の逆比、つまり $10 : 20 = 1 : 2$ である。全体が $90 g$ だから

$m_{1} = 90 \times \frac{1}{3} = 30 g, 2 段目より下 = 90 \times \frac{2}{3} = 60 g$

重要棒の両側の重さの比は **腕の逆比** 。下の段はまとめて1つのおもりとみなせる

② 2段目と3段目。 2段目の棒には、左に $m_{2}$ 、右に3段目全体がぶら下がる。腕は $5.0$ と $15$ だから、重さの比は $15 : 5.0 = 3 : 1$ である。合計 $60 g$ を分けて

$m_{2} = 60 \times \frac{3}{4} = 45 g, 3 段目全体 = 60 \times \frac{1}{4} = 15 g$

3段目は腕が $2.0$ と $4.0$ だから、重さの比は $4.0 : 2.0 = 2 : 1$ である。合計 $15 g$ を分けて

$m_{4} = 10 g, m_{5} = 5 g$

全部足すと $30 + 45 + 10 + 5 = 90 g$ で、確かに合っている。

青は「下のかたまりをまとめた重さ」。各段で腕の逆比に分けると、すべてのおもりが決まる

③ $m_{5}$ を重くしたとき。 $m_{5}$ が $10 g$ になると、3段目は $m_{4} = 10$ 、 $m_{5} = 10$ で 同じ重さ になる。同じ重さなら腕も同じでなければならない。

棒の長さは $2.0 + 4.0 = 6.0 cm$ のままだから、つるす点を 左右 $3.0 cm$ ずつの中央 へ動かせばよい。もとの位置から右へ $1.0 cm$ 動かすことになる。

④ 全体は戻るか。 戻らない。3段目全体の重さが $15 g$ から $20 g$ に増えているからである。

2段目のつり合いを確かめると

$m_{2} \times 5.0 = 45 \times 5.0 = 225, 20 \times 15 = 300$

右のほうが大きく、2段目は右へ傾いてしまう。2段目のつるす点も動かさなければならない。

さらに、2段目より下の合計も $60 g$ から $65 g$ に増えるので、いちばん上の段も釣り合わなくなる。1か所を変えると、その上のすべての段に波及する。

これがモビール作りの難しさである。下から順に組み立てていくのが定石なのは、この波及を1回で押さえるためである。

まとめ 多段の問題は「下のかたまりを1つのおもりに置きかえる」ことで、同じ形のつり合いのくり返しに化ける。下から上へまとめ、上から下へ分ける。 どちらの向きにも読めるようにしておくと速い。

発展 — 一歩先へ。 各段のつるす点は、その下にぶら下がっている全体の 重心の真上 にある。もし重心の真上でなければ、その段は必ず回り出してしまうからである。

だから完成したモビールは、どの糸を切り離して1つ取り出しても、その部分の重心が糸の延長線上にある。全体の重心も、いちばん上の糸の延長線上にある。 複雑な形をしていても、つり合っているという事実だけから重心の位置が読める。

答

(1) $m_{1} = 30 g$ 、2段目より下は $60 g$ (2) $m_{2} = 45 g$ 、 $m_{4} = 10 g$ 、 $m_{5} = 5 g$ (3) 左右の腕が等しくなる位置(両側 $3.0 cm$ )へ動かす (4) 戻らない。3段目全体が $20 g$ になったので2段目のつり合いが崩れ、上の段まで直す必要がある

別解

下から積み上げるルート。 上から分けるかわりに、下の段から順に決めていくこともできる。実際にモビールを作るときはこの向きになる。

いちばん下の段から始める。腕が $2.0$ と $4.0$ なので、 $m_{4} : m_{5} = 4.0 : 2.0 = 2 : 1$ である。 $m_{5} = x$ とおくと $m_{4} = 2 x$ 、3段目の合計は $3 x$ になる。

2段目は腕が $5.0$ と $15$ だから、 $m_{2} : (3 段目) = 15 : 5.0 = 3 : 1$ である。3段目が $3 x$ なので

$m_{2} = 9 x, 2 段目より下の合計 = 9 x + 3 x = 12 x$

いちばん上は腕が $20$ と $10$ なので、 $m_{1} : (2 段目より下) = 10 : 20 = 1 : 2$ である。

$m_{1} = 6 x, 全体 = 6 x + 12 x = 18 x$

全体が $90 g$ だから $x = 5$ である。ここから

$m_{5} = 5, m_{4} = 10, m_{2} = 45, m_{1} = 30 [g]$

本文と同じ値が出た。

この解き方の利点は、全体の重さが分からなくても比だけで組み上がる ことである。最後に1つの実測値(ここでは全体の $90 g$ )を入れれば、すべてが決まる。未知数を1つ置いて最後に決める、という代数の定石が、そのまま工作の手順になっている。

ポイント

下の段のかたまりは、上の段から見れば1つのおもり。重さは合計、位置はつるした点
棒の両側の重さの比は腕の逆比。全体を逆比で分けていけば各段が決まる
各段のつるす点は、その下全体の重心の真上にある

よくある間違い

下の段の棒の重さを、左右のおもりの片方だけと考えてしまう。上から見れば下の段は合計の重さでぶら下がる
重さの比を腕の比と同じにしてしまう。つり合うのは「重さ × 腕」なので逆比
1か所を直せば全体が直ると考えてしまう。下の段の合計が変われば、上の段のつり合いも崩れる