加速する車の前後の荷重

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 加速している物体は静止していないので、そのままではつり合いの式が使えない。

しかし車とともに動く立場に移ると、重心に後ろ向きの慣性力 $Ma$ を加えるだけで、剛体のつり合いの問題になる。

慣性力は重心にはたらき、その高さは $h$ である。地面(接地点)から見ると腕の長さが $h$ あるので、車を後ろへ回そうとするモーメントを生む。これが荷重の移動の正体である。

① つり合いの式。 鉛直方向のつり合い。

$$N_{\text{前}}+N_{\text{後}}=Mg$$

後輪の接地点まわりのモーメント。前輪の荷重は距離 $L$ だけ離れており、重力は $\frac{L}{2}$、慣性力は高さ $h$ の位置にある。

$$N_{\text{前}}\cdot L+Ma\cdot h=Mg\cdot \frac{L}{2}$$

$$N_{\text{前}}=M\left(\frac{g}{2}-\frac{ah}{L}\right),N_{\text{後}}=M\left(\frac{g}{2}+\frac{ah}{L}\right)$$

② 数値。

$$\frac{ah}{L}=\frac{4.0\times 0.50}{2.5}=0.80$$

$$N_{\text{前}}=1500\times (4.9-0.80)=6150\mathrm{N}$$

$$N_{\text{後}}=1500\times (4.9+0.80)=8550\mathrm{N}$$

静止時はどちらも $\frac{Mg}{2}=7350\mathrm{N}$ だから、$1200\mathrm{N}$ が前から後ろへ移ったことになる。

③ 前輪が浮く条件。 $N_{\text{前}}=0$ となる加速度を求める。

$$\frac{g}{2}=\frac{ah}{L}⟹a=\frac{gL}{2h}=\frac{9.8\times 2.5}{2\times 0.50}=24.5m/{\mathrm{s}}^2$$

$$\frac{24.5}{9.8}=2.5$$

重力加速度の $2.5$ 倍である。ふつうの車では到底出せない加速度なので、車が前輪を浮かせることはない。

いっぽうオートバイはホイールベースが短く重心が高いので、この値がずっと小さくなり、実際に前輪が浮く(ウイリー)。

④ 減速時。 $a=-6.0m/{\mathrm{s}}^2$ とすればよい。

$$\frac{ah}{L}=\frac{-6.0\times 0.50}{2.5}=-1.2$$

$$N_{\text{前}}=1500\times (4.9+1.2)=9150\mathrm{N},N_{\text{後}}=1500\times (4.9-1.2)=5550\mathrm{N}$$

こんどは前輪に荷重が移る。ブレーキをかけると車の前が沈むのは、この荷重移動によるものである。

まとめ 慣性力を重心に加えれば、加速中の車もつり合いの問題として扱える。荷重の移動量 $\frac{Mah}{L}$ は、重心の高さとホイールベースで決まる。

発展 — 一歩先へ。 ブレーキの効きは、タイヤと路面の摩擦で決まる。摩擦力は垂直抗力に比例するので、荷重が移った前輪のほうが強くブレーキをかけられる。

自動車の前輪ブレーキが後輪より大きく作られているのは、このためである。前後の制動力の配分を最適にする装置(ブレーキプロポーショニングバルブ)も使われている。

スポーツカーが車高を低くするのは、空気抵抗のためだけではない。$h$ を小さくして荷重移動を減らし、加速・減速時のタイヤの負担を均すという意味もある。剛体のつり合いが、そのまま車の設計思想になっている。

別解

地面に静止した立場で解くルート。 慣性力を使わずに、運動方程式とモーメントの式を組み合わせても解ける。

水平方向の運動方程式は

$$f_{\text{前}}+f_{\text{後}}=Ma$$

($f$ は駆動力または摩擦力。合計が $Ma$ になる。)

鉛直方向は加速していないので

$$N_{\text{前}}+N_{\text{後}}=Mg$$

回転についても、車は回転していないので「重心まわりの角運動量が変化しない」、つまり重心まわりのモーメントの和が $0$ である。重心まわりで書くと

$$N_{\text{後}}\cdot \frac{L}{2}-N_{\text{前}}\cdot \frac{L}{2}-\left(f_{\text{前}}+f_{\text{後}}\right)h=0$$

第 $1$ 式を代入すると

$$\left(N_{\text{後}}-N_{\text{前}}\right)\frac{L}{2}=Mah⟹N_{\text{後}}-N_{\text{前}}=\frac{2Mah}{L}$$

これと $N_{\text{前}}+N_{\text{後}}=Mg$ を連立すれば ① と同じ式になる。

慣性力を使う立場では「重心まわり」を選ぶ必要がなく、接地点を選べるぶん式が $1$ 本で済む。どちらの立場でも答えは同じだが、慣性力を使うと「つり合いの問題」に見えるので手筋が使いやすい。

ただし慣性力は動く立場でしか登場しないので、どちらの立場で考えているかを混ぜないことが大切である。