物理 / 剛体のつり合い

2 本の糸で吊るした棒

★★ 標準剛体のつり合い

問題

長さ $2.0 m$ 、重さ $60 N$ の一様な棒 AB を、A から $0.20 m$ の点 P と、A から $1.4 m$ の点 Q に付けた鉛直な 2 本の糸で吊るし、水平に保った。P、Q の糸の張力 $T_{P}$ 、 $T_{Q}$ をそれぞれ求めよ。

P(A から 0.20 m)と Q(A から 1.4 m)の 2 本の糸で吊る

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支えが 2 本とも糸になっただけで、b05・s01 と同じ型。距離を「片方の糸の位置から」測り直すことだけ、ていねいに。

解答・解説

P まわりのモーメントで T_Q を出す(重心は P から 0.80 m、Q は P から 1.2 m)。力のつり合いで T_P。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 支えが「人の手」から「糸」に変わっても、力学の構造は b05 と同一である。片方の糸の作用点まわりでモーメント → 力のつり合い、の 2 段で解く。距離の測り直しが本問の実務のすべてになる。

① P からの距離を整理。 重心(棒の中央、A から $1.0 m$ )は P から

$1.0 - 0.20 = 0.80 m$

Q は P から $1.4 - 0.20 = 1.2 m$ 。

② P まわりのモーメント。

$T_{Q} \times 1.2 = 60 \times 0.80 ⟹ T_{Q} = \frac{48}{1.2} = 40 N$

③ 力のつり合い。

$T_{P} + T_{Q} = 60 ⟹ T_{P} = 60 - 40 = 20 N$

まとめ 重心は Q 寄り(P から $0.80$ 、Q から $0.40$ )なので、近い Q の糸が $2$ 倍の力で支える——距離の逆比 $0.80 : 0.40 = 2 : 1$ が張力の比 $T_{Q} : T_{P} = 2 : 1$ にそのまま現れている。

答

$T_{P} = 20 N$ 、 $T_{Q} = 40 N$

Q まわりで立てるルート。 Q まわりのモーメントのつり合いは、重心が Q から $0.40 m$ (A 側)だから

$T_{P} \times 1.2 = 60 \times 0.40 ⟹ T_{P} = 20 N$

力のつり合いで $T_{Q} = 40 N$ 。P まわりと Q まわり、どちらから入っても 2 手で終わる。「重心がどちらの糸に近いか」を先に見て、大きい張力の側を予想してから計算すると、距離の取り違えに気づきやすい。