脚立をつなぐロープにはたらく力

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 脚立は2本の棒がつながった 2つの剛体 である。全体をひとかたまりに見るか、片方だけを取り出すかで、見える式が変わる。

全体をひとかたまりに見ると、ロープもちょうつがいも内部の力になって消える。外から見えるのは重さと床の力だけ で、床の力がすぐ出る。

しかしそれだけではロープの張力は出てこない。そこで 片方の脚だけを取り出す 。すると、ロープの張力とちょうつがいからの力が外力として顔を出す。ちょうつがいのまわりでモーメントを考えれば、その未知の力が消えて張力だけが残る。

① 床が足を押す力。 全体を1つと見る。鉛直方向の力は、2本の棒の重さ $50\times 2$、人の $600$、そして左右の足への垂直抗力である。左右対称だから2つの垂直抗力は等しい。

$$2N=50\times 2+600=700⟹N=350\mathrm{N}$$

床はなめらかなので水平の力ははたらかない。だから 脚立が開こうとするのを止めているのはロープだけ である。

② ロープの張力。 左の脚だけを取り出す。この脚にはたらく力は、足の垂直抗力 $N=350$、脚の重さ $50$(脚の中点)、ロープの張力 $T$(内向き=右向き)、そしてちょうつがいから受ける力である。

ちょうつがいのまわりでモーメントを考えると、ちょうつがいの力は腕が $0$ で消える 。

ちょうつがいを原点にとる。足はそこから水平に $1.5\mathrm{m}$、鉛直に $2.0\mathrm{m}$ 下にある。人の重さはちょうつがいにかかるので、これも腕が $0$ で消える。

• 垂直抗力 $N$(上向き、水平距離 $1.5$)のモーメント: $350\times 1.5$
• 脚の重さ $50$(下向き、水平距離 $0.75$)のモーメント: $50\times 0.75$(逆向き)
• 張力 $T$(水平、ちょうつがいから $2.0-0.50=1.5\mathrm{m}$ 下)のモーメント: $T\times 1.5$

$$350\times 1.5=50\times 0.75+T\times 1.5$$

$$525=37.5+1.5T⟹T=\frac{487.5}{1.5}=325\mathrm{N}$$

③ 人が乗らないとき。 同じ式で $N=50$ とすればよい。

$$50\times 1.5=50\times 0.75+T\times 1.5⟹T=\frac{37.5}{1.5}=25\mathrm{N}$$

$600\mathrm{N}$ の人が乗ると、ロープの張力は $25\mathrm{N}$ から $325\mathrm{N}$ へ、13倍にもなる。

④ ロープを低くする。 ロープの位置だけを変えると、変わるのは張力の腕 $2.0-y$ である。文字で書くと

$$T=\frac{d(W+P)}{2(H-y)}$$

ここで $d=1.5$、$H=2.0$、$W=50$、$P=600$ である。$y=0$ にすると

$$T=\frac{1.5\times 650}{2\times 2.0}=243.75\mathrm{N}$$

$325\mathrm{N}$ から減った。ロープは低い位置に張るほど楽になる。 腕が長くなるぶん、小さい力で同じモーメントを出せるからである。

逆にちょうつがいに近い高さに張ると腕が短くなり、張力は跳ね上がる。実際の脚立で、開き止めの金具が下のほうに付いているのはこのためである。

まとめ つながった剛体は「全体で見る」「1つを取り出す」の2段構えで攻める。取り出したら、未知の力が集まっている点を支点に選ぶ 。ちょうつがいはその代表である。

発展 — 一歩先へ。 床がなめらかだという条件は、この問題ではロープを主役にするために置かれている。実際の床には摩擦があり、足がすべらないぶんロープの張力は小さくてすむ。

もし摩擦だけで支えるなら、必要な摩擦力は $325\mathrm{N}$、垂直抗力は $350\mathrm{N}$ だから、静止摩擦係数が $0.93$ ほど必要になる。ふつうの床では足りない。脚立にロープや金具が必ず付いている理由 が、この数値から見える。

別解

ロープを切ったときに何が起こるかから考えるルート。 式を立てる前に、力の向きだけを追ってみる。

床がなめらかなら、脚立は左右に開こうとする。開こうとする勢いは、脚の上のほうを外へ押す力として現れる。ちょうつがいは2本の棒を離さないが、開く向きの回転は止められない。 止めているのはロープだけである。

そこで、片方の脚を「ちょうつがいを支点にした1本のてこ」と見る。足を外へ押しやろうとするのは床からの垂直抗力 $N$ で、その腕は水平距離 $1.5\mathrm{m}$ である。脚自身の重さは逆向きに $0.75\mathrm{m}$ の腕ではたらく。差し引きが「開こうとするモーメント」で

$$350\times 1.5-50\times 0.75=487.5\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$$

ロープはこれを打ち消せばよい。腕は $1.5\mathrm{m}$ だから

$$T=\frac{487.5}{1.5}=325\mathrm{N}$$

同じ答えである。この見方だと ④ が暗算でわかる。打ち消すべきモーメントは変わらないのだから、腕が長くなればそのぶん力は小さくてよい。 腕が $1.5$ から $2.0$ へ $\frac{4}{3}$ 倍になれば、張力は $\frac{3}{4}$ 倍の $243.75\mathrm{N}$ である。

「必要なモーメントは決まっていて、腕をどう取るかで力が決まる」と読むと、数値を計算し直さずに変化が追える。