張り出した板の上を歩ける範囲

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 板が傾き始める瞬間は、遠い側の支点 A の反力がちょうど 0 になる瞬間である。そのとき板は B の 1 点支持になり、B まわりのモーメントのつり合いが成立する限界の式になる。

① 重心の位置を整理する。 板は一様だから重心は中央、左端から $2.0\mathrm{m}$。支点 B は左端から $3.0\mathrm{m}$ にあるので、重心は B から左へ $1.0\mathrm{m}$ の位置にある。

② 傾き始めの条件。 $N_A=0$ とし、B まわりで(反時計回り=板の重さ、時計回り=人)

$$200\times 1.0=500\times d$$

③ 解く。

$$d=\frac{200}{500}=0.40\mathrm{m}$$

B から $0.40\mathrm{m}$ の点に来たとき、板は傾き始める(張り出しは $1.0\mathrm{m}$ あるが、先端までは行けない)。

まとめ 板の重さが「B より左」にあることが復元のモーメントを生み、人がそれを食いつぶした瞬間に傾く。傾き判定は「遠い支点の反力=0」と置く——s02 のテーブル問題と同じ考え方が、支点 2 つの配置でも通用する。

別解

逆比で即答するルート。 B まわりでつり合う 2 つのモーメントは「板 $200\mathrm{N}$・うで $1.0\mathrm{m}$」と「人 $500\mathrm{N}$・うで $d$」。うでは重さの逆比だから

$$d=1.0\times \frac{200}{500}=0.40\mathrm{m}$$

体重が板の 2.5 倍あるので、歩ける距離は復元うでの $\frac{1}{2.5}$ しかない。飛び込み台や足場の張り出しの先端が危険な理由が、この逆比に凝縮されている。