円運動と万有引力 — 向心力・慣性力・ケプラーの法則

物体が等速円運動をしており、周期は $0.50$ 秒である。(1) 1 秒あたりの回転数 (2) 角速度 をそれぞれ求めよ。円周率を $\pi =3.14$ とする。

半径 $0.50\mathrm{m}$ の円周上を、角速度 $4.0rad/s$ で等速円運動する物体の速さを求めよ。

半径 $0.50\mathrm{m}$ の円周上を、角速度 $4.0rad/s$(速さ $2.0m/s$)で等速円運動する物体の加速度の大きさと向きを求めよ。

質量 $2.0\mathrm{kg}$ の物体が、半径 $1.5\mathrm{m}$ の円周上を速さ $3.0m/s$ で等速円運動している。この物体にはたらいている向心力の大きさを求めよ。

なめらかな水平面上で、長さ $0.80\mathrm{m}$ の糸の一端を固定し、他端に質量 $0.50\mathrm{kg}$ の物体をつないで、速さ $4.0m/s$ で等速円運動させた。糸の張力の大きさを求めよ。

1 秒間に $2.0$ 回転する回転台がある。中心から $0.20\mathrm{m}$ の位置にある点の向心加速度の大きさを求めよ。円周率を $\pi =3.14$ とする。

電車が一定の加速度 $7.35m/{\mathrm{s}}^2$ で水平に加速している。電車の中で天井からつるされたつり革は、鉛直からどちら向きにどれだけ傾いて静止して見えるか。傾きの角 $\theta$ について $\tan \theta$ を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

回転台の上、中心から $0.40\mathrm{m}$ の位置に質量 $0.50\mathrm{kg}$ の物体が置かれ、台と一緒に角速度 $5.0rad/s$ で回っている。(1) 台とともに回る観測者から見て、物体にはたらく遠心力の大きさを求めよ。(2) 物体が滑らずに回り続けるために必要な摩擦力の大きさを求めよ。

質量 $1000\mathrm{kg}$ の物体が 2 つ、中心間の距離 $1.0\mathrm{m}$ で置かれている。2 物体の間にはたらく万有引力の大きさを求めよ。万有引力定数を $G=6.7\times 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$ とする。

地球の質量を $M=6.0\times 10^{24}\mathrm{kg}$、半径を $R=6.4\times 10^6\mathrm{m}$、万有引力定数を $G=6.7\times 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$ とする。地表付近の物体(質量 $m$)にはたらく万有引力から、重力加速度の大きさ $g$ を求めよ。

太陽のまわりを回る 2 つの惑星 A、B がある。B の軌道半径(軌道長半径)は A の $4$ 倍である。B の公転周期は A の何倍か。

地表すれすれの円軌道を回る人工衛星の速さ(第 1 宇宙速度)を求めよ。地球の半径を $R=6.4\times 10^6\mathrm{m}$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

半径 $2.0\mathrm{m}$ の円周上を周期 $4.0$ 秒で等速円運動する物体について、(1) 角速度 (2) 速さ (3) 向心加速度の大きさ をそれぞれ求めよ。円周率を $\pi =3.14$、${\pi }^2=9.87$ とする。

長さ $1.6\mathrm{m}$ の糸の先に質量 $0.50\mathrm{kg}$ の小球をつけ、糸が鉛直と角 $\theta$ を保つように水平面内で等速円運動させたところ、角速度は $3.5rad/s$ であった。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。(1) 糸の張力 $S$ (2) $\cos \theta$ をそれぞれ求めよ。

回転台の上、中心から $0.20\mathrm{m}$ の位置に物体を置く。物体と台の間の静止摩擦係数は $0.50$ である。台の角速度をゆっくり大きくしていくとき、物体が滑り出さずにいられる角速度の最大値を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

一定の加速度 $7.35m/{\mathrm{s}}^2$ で水平に加速する電車の天井から、質量 $0.40\mathrm{kg}$ の小球を糸でつるしたところ、糸は鉛直から傾いて静止して見えた。(1) 傾きの角 $\theta$ について $\tan \theta$ (2) 糸の張力 $T$ をそれぞれ求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

質量 $40\mathrm{kg}$ の人が、体重計に乗ってエレベーターに乗っている。エレベーターが上向きに加速度 $2.45m/{\mathrm{s}}^2$ で上昇しているとき、体重計が示す値(人が体重計を押す力の大きさ)を求めよ。また、それは静止時の何倍か。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

長さ $1.0\mathrm{m}$ の糸の先に質量 $0.50\mathrm{kg}$ の小球をつけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さが $7.0m/s$ のとき、最下点での糸の張力を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

長さ $0.40\mathrm{m}$ の糸の先に小球をつけ、鉛直面内で円運動させる。最高点を通過できるための、最高点での速さの最小値を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

なめらかなレールが半径 $5.0\mathrm{m}$ の鉛直な円形ループにつながっている。小球を高さ $h$ から静かに放し、ループの最高点を離れずに通過させたい。(1) 最高点で必要な最小の速さ (2) $h$ の最小値 をそれぞれ求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

地球の中心から半径 $r=2R$($R$ は地球の半径)の円軌道を回る人工衛星の速さを求めよ。地表の重力加速度を $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$R=6.4\times 10^6\mathrm{m}$ とし、$GM=g{R}^2$ の関係を用いてよい。

火星の軌道長半径は地球の $1.5$ 倍である。火星の公転周期は何年か。$\sqrt{3.375}=1.84$ とする。

彗星が太陽のまわりを楕円軌道で回っている。太陽に最も近い点(近日点)での太陽からの距離は $r$、最も遠い点(遠日点)での距離は $4r$ である。近日点での速さが $8.0km/s$ のとき、遠日点での速さを求めよ。

静止衛星は、赤道上空を地球の自転と同じ周期(約 $1$ 日)で回る人工衛星である。月の公転周期を $27$ 日、月の軌道半径を $3.8\times 10^5\mathrm{km}$ として、ケプラーの第 3 法則を用いて静止衛星の軌道半径(地球の中心から)を求めよ。$27^{2/3}=9$ を用いてよい。

長さ $L$ の糸の先に質量 $m$ の小球をつけ、糸が鉛直と角 $\theta$ をなす円錐振り子として等速円運動させる。重力加速度の大きさを $g$ とする。(1) 角速度 $\omega$ を $L$、$\theta$、$g$ で表せ。(2) 周期 $T$ を求め、$T$ が振れの角 $\theta$ にどう依存するか述べよ。

長さ $L$ の糸の先に質量 $m$ の小球をつけ、最下点で速さ $v_0=2\sqrt{gL}$ を与えて鉛直面内で回す。糸が最下点から角 $\theta =60°$ 回った位置について、(1) 小球の速さの 2 乗 $v^2$ (2) 糸の張力 $T$ をそれぞれ求めよ。重力加速度の大きさを $g$ とする。

半径 $r$ のなめらかな半球面の頂上に小球を置き、ごくわずかに押して滑らせた。小球が球面から離れるのは、頂上から測った角 $\theta$(中心から見た角)がいくらのときか。$\cos \theta$ で答えよ。また、そのとき小球は頂上から鉛直方向に何 m 下がった位置にいるか($r$ で表せ)。

地表から物体を打ち出し、無限遠まで到達させる(地球の重力を振り切る)ために必要な最小の初速(第 2 宇宙速度)を求めよ。万有引力による位置エネルギーは、無限遠を基準として $U=-G\frac{Mm}{r}$ で与えられる。$GM=g{R}^2$、$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$R=6.4\times 10^6\mathrm{m}$、$\sqrt{2}=1.41$ とする。

地表すれすれの円軌道を回る人工衛星の周期を求めよ。地球の半径を $R=6.4\times 10^6\mathrm{m}$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$\pi =3.14$ とする。

一定の加速度で水平に走る電車の中で、天井からつるした質量 $0.20\mathrm{kg}$ の小球が、鉛直から $37°$ 傾いて静止して見えた。$\sin 37°=0.60$、$\cos 37°=0.80$、重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。(1) 電車の加速度の大きさ (2) 糸の張力 をそれぞれ求めよ。

月の質量を $M=7.3\times 10^{22}\mathrm{kg}$、半径を $R=1.7\times 10^6\mathrm{m}$、万有引力定数を $G=6.7\times 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$ とする。(1) 月面での重力加速度の大きさを求めよ。(2) それは地球($9.8m/{\mathrm{s}}^2$)の約何分の 1 か。

静止衛星は周期 $T=8.64\times 10^4$ 秒(1 日)で地球のまわりを回る。軌道半径 $r$(地球の中心から)を求めよ。$GM=g{R}^2$ の関係と、$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$R=6.4\times 10^6\mathrm{m}$、${\pi }^2=9.87$、$\sqrt[3]{75.8}=4.23$ を用いてよい。

半径 $r=60\mathrm{m}$ の円形のカーブがある。路面は内側が低くなるように、水平から $\theta =45^{\circ }$ 傾けてある(バンク)。タイヤと路面のあいだの静止摩擦係数を $\mu =0.50$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。車は傾いた面の上を、半径 $r$ の水平な円を描いて走る。

(1) 摩擦がまったくはたらかなくても曲がれる速さ $v_0$ を求めよ。

(2) 内側へずり落ちずに曲がれる最小の速さ $v_1$ を求めよ。

(3) 外側へ飛び出さずに曲がれる最大の速さ $v_2$ を求めよ。

(4) $\tan \phi =\mu$ で決まる角 $\phi$(摩擦角)を使うと、(2)(3) の答えがどのような形に書けるか述べよ。

半径 $R=0.20\mathrm{m}$、高さ $0.50\mathrm{m}$ の円筒形の容器に、水を深さ $0.30\mathrm{m}$ まで入れる。この容器を中心軸のまわりに一定の角速度 $\omega$ で回すと、じゅうぶん時間がたったのち、水は容器と一緒に回るようになる。重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

なお、下に凸の放物面と、それに外接する円柱を考えると、放物面より上の部分の体積は円柱の体積のちょうど半分になることを用いてよい。

(1) 水面上で、回転軸から距離 $x$ の点における水面の傾き(水平とのなす角 $\alpha$ の正接)を求めよ。

(2) 水面の断面がどんな曲線になるか、式で答えよ。

(3) $\omega =14rad/s$ のとき、壁ぎわの水位と中心の水位の差を求めよ。

(4) $\omega$ を大きくしていったとき、水が容器からあふれ始めるのはいくつのときか。

(5) さらに速くして、中心で容器の底が現れるのはいくつのときか。

宇宙空間に、半径 $R=245\mathrm{m}$ の円筒形のステーションがある。円筒の中心軸のまわりに一定の角速度 $\omega$ で回し、内側の壁を床として人が立てるようにしたい。地球の重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) 床に立った人が地上と同じ重さを感じるための $\omega$ と、1回転に要する時間を求めよ。

(2) そのとき、床(壁)の速さはいくらか。

(3) 身長 $1.8\mathrm{m}$ の人が床に立っている。頭の位置で感じる重力は、足もとの何 % か。

(4) この人が床の上を、回転の向きに速さ $1.0m/s$ で歩く。感じる重さは何倍になるか。逆向きに歩いたときはどうか。

(5) 同じ人工重力を半径 $10\mathrm{m}$ の小さなステーションでつくったとすると、(3) の割合はどうなるか。

地球を半径 $R=6.4\times 10^6\mathrm{m}$ の球とし、$24$ 時間($8.64\times 10^4\mathrm{s}$)で1回自転しているとする。自転を無視したときの重力加速度の大きさを $g_0=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) 自転の角速度を求めよ。

(2) 赤道上の物体が自転のためにする円運動の、向心加速度の大きさを求めよ。また赤道で測られる重力加速度は、$g_0$ より何 % 小さいか。

(3) 緯度 $\phi$ の地点では、自転による円運動の半径は $R\cos \phi$ である。この地点で糸につるしたおもりが、地球の中心を向く方向からどれだけ傾くかを近似式で表せ。また傾きが最大になる緯度と、そのときの角度を求めよ。

(4) 実際に測ると、重力加速度は極で $9.832m/{\mathrm{s}}^2$、赤道で $9.780m/{\mathrm{s}}^2$ である。この差は自転だけで説明できるか。

(5) 自転が今の何倍の速さになると、赤道上の物体が地面から浮き上がるか。そのときの1日の長さも求めよ。

なめらかな水平面の中央に小さな穴があいており、そこに軽い糸を通してある。面の上では糸の先に質量 $m=0.50\mathrm{kg}$ の小球が結んであり、面の下では糸を手で持っている。

はじめ、小球は穴を中心とする半径 $r_1=0.40\mathrm{m}$ の円周上を、速さ $v_1=2.0m/s$ で等速円運動している。ここから糸をゆっくり引き下げ、半径を $r_2=0.20\mathrm{m}$ にした。

(1) 糸が小球に及ぼす力の向きに注目して、半径が変わるあいだ変わらない量を1つ挙げよ。

(2) 半径が $r_2$ になったときの小球の速さを求めよ。

(3) 半径が $r_1$ のときと $r_2$ のときの糸の張力を、それぞれ求めよ。

(4) 手が糸を引くためにした仕事を求めよ。

質量 $m=0.20\mathrm{kg}$ の小球を最下点から水平に打ち出し、鉛直面内で一周させたい。重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、摩擦と空気抵抗は無視する。次の3つの場合を考える。

(A) 長さ $L=1.0\mathrm{m}$ の軽い糸で、天井の点につるす

(B) 長さ $L=1.0\mathrm{m}$ の軽くて丈夫な棒で、同じ点に固定する

(C) 半径 $L=1.0\mathrm{m}$ のなめらかな円形の管(内側と外側の両方に壁がある溝)の中を通す

(1) (A)(B)(C) それぞれについて、一周するために最下点で必要な最小の速さを求めよ。

(2) (A) で最下点の速さを $\sqrt{3gL}$(約 $5.4m/s$)としたとき、糸がたるむのは最下点から測ってどの高さか。またそのときの小球の速さを求めよ。

(3) (C) で最下点の速さを $7.0m/s$ としたとき、最高点で管が小球に及ぼす力を求めよ。

(4) (C) で最下点の速さを $6.5m/s$ としたとき、最高点で管が小球に及ぼす力の大きさと向きを求めよ。

地球の質量を $M$、月の質量をその $\frac{1}{81}$ とし、中心間の距離を $d=3.8\times 10^8\mathrm{m}$ とする。地球の半径は $R=6.4\times 10^6\mathrm{m}$、地表での重力加速度の大きさは $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ である。地球と月は静止しているとみなし、他の天体の影響と空気抵抗は無視する。

(1) 地球と月を結ぶ線上で、両者から受ける万有引力がつり合う点は、地球の中心から測ってどこか。

(2) 地表からロケットを打ち上げ、(1) の点にちょうど速さ0で到達させたい。必要な最小の初速を求めよ。ただし万有引力による位置エネルギーは、無限遠を基準として $-\frac{GMm}{r}$ である。

(3) (2) で求めた速さを、地球の脱出速度と比べよ。

(4) (1) の点を通り過ぎたロケットはどうなるか、理由とともに述べよ。

質量がどれも $m$ の3つの星が、一辺 $a$ の正三角形の頂点にある。3つの星は正三角形の形と大きさを保ったまま、共通の中心のまわりを同じ角速度で等速円運動している。万有引力定数を $G$ とする。

(1) 1つの星が他の2つから受ける万有引力の合力について、大きさと向きを求めよ。

(2) 各星が描く円の半径を求めよ。

(3) 角速度 $\omega$ と周期 $T$ を、$G$、$m$、$a$ で表せ。

(4) $m=2.0\times 10^{30}\mathrm{kg}$、$a=3.0\times 10^{11}\mathrm{m}$、$G=6.7\times 10^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/k{\mathrm{g}}^2$ のとき、$T$ を求めよ。また1年を $3.2\times 10^7\mathrm{s}$ として何年になるか答えよ。

地球(半径 $R$、地表での重力加速度の大きさ $g$)のまわりを回る人工衛星がある。地球の中心からの距離が最も小さい点(近地点)ではその距離が $R$(地表すれすれ)で、そこでの速さを $v_p$ とする。最も大きい点(遠地点)では距離が $3R$ である。万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準にとり、$GM=g{R}^2$ を用いてよい。

(1) 遠地点での速さ $v_a$ を $v_p$ で表せ。

(2) $v_p$ を $g,R$ で表せ。

(3) この楕円軌道を 1 周する時間(周期)$T$ を $g,R$ で表せ。

宇宙探査機(質量 $m$)が、速さ $u=10km/s$ で一直線上を進んでいる。その正面から、質量が探査機よりはるかに大きい惑星が、速さ $V=13km/s$ で近づいてくる。探査機は惑星の重力に引かれて向きを変え、進んできた向きへ跳ね返された(惑星のそばを回り込んで戻ってきたとみなす)。惑星の質量は探査機に比べて十分大きく、この間の惑星の速さは変わらないとする。

(1) 惑星とともに動く観測者から見ると、探査機の速さは近づく前と跳ね返った後で変わらない。その理由を、はたらく力とエネルギーの観点から述べよ。

(2) もとの観測者(惑星が動いて見える立場)から見た、跳ね返った後の探査機の速さを求めよ。

宇宙空間で、質量 $m$ の星 A と質量 $2m$ の星 B が、たがいの万有引力だけを受けて、共通の重心のまわりをそれぞれ等速円運動している。2 星間の距離は常に $d$ に保たれている。万有引力定数を $G$ とする。

(1) 重心から星 A、星 B までの距離をそれぞれ求めよ。

(2) 円運動の角速度 $\omega$ を求めよ。

(3) 周期 $T$ を、全質量 $M=3m$ を用いた形にまとめよ。

密度が一様な地球(半径 $R$、地表での重力加速度の大きさ $g$)を考える。地球内部で中心から距離 $r$ の位置にある物体には、中心に向かって大きさ $\frac{g}{R}r$ の重力がはたらくことが知られている。

いま、地球の中心を通らず、中心からの距離が $b$ の直線トンネルをまっすぐ掘る(トンネルはなめらかで、空気抵抗はない)。トンネルの中央から測った位置を $x$ として、物体を静かに放す。

(1) 物体にはたらく重力の、トンネルに沿う方向の成分を $x$ で表せ。

(2) 物体の運動が単振動であることを示し、その周期 $T$ を求めよ。

(3) 周期はトンネルの位置(距離 $b$)によるか、答えよ。

地球(中心からの距離 $r$ で万有引力がはたらく。$GM=g{R}^2$)のまわりの、半径 $R$ の円軌道を回っている宇宙船を、半径 $4R$ の円軌道へ移したい。そのために、まず短時間の噴射で速さを変えて、近い側の距離が $R$・遠い側の距離が $4R$ の楕円軌道(遷移軌道)に乗せ、遠い側に着いたところで再び噴射して半径 $4R$ の円軌道に乗せる。

(1) 半径 $R$、半径 $4R$ の円軌道の速さ $v_1,v_2$ をそれぞれ $g,R$ で表せ。

(2) 遷移軌道の近い側・遠い側での速さ $v_p,v_a$ を求めよ。

(3) 1 回目・2 回目の噴射で必要な速さの変化 $\Delta v_1,\Delta v_2$ を求めよ。

地球($GM=g{R}^2$)の中心から距離 $2R$ の点で、質量 $m$ の物体に、動径に垂直な向きの速さ $v$ を与える。

(1) この点での脱出速度(無限遠へ去るのに必要な最小の速さ)を $g,R$ で表せ。

(2) $v^2=0.8gR$ のとき、軌道が楕円・放物線・双曲線のどれになるか、理由とともに答えよ。

(3) (2) の楕円について、長半径 $a$ を求めよ。また、この点が近地点・遠地点のどちらかを判定し、もう一方の距離を求めよ。

地球($GM=g{R}^2$)のまわりの半径 $r$ の円軌道を回る質量 $m$ の人工衛星がある。ごく薄い大気からわずかな空気抵抗を受けると、衛星は長い時間をかけて円軌道を保ったまま少しずつ高度を下げる(各瞬間はほぼ円軌道とみなせる)。

(1) 円軌道の速さ $v$、運動エネルギー $K$、位置エネルギー $U$、全エネルギー $E$ を、それぞれ $r$ を使って表せ。

(2) 空気抵抗は負の仕事をして全エネルギーを減らすのに、衛星の速さはむしろ増える。この一見矛盾する現象の理由を、(1) の関係を使って説明せよ。

(3) 高度が下がって半径が 1.0% 減ったとき、速さは何%増えるか。有効数字2桁で求めよ。

質量 $M$ の恒星の近くを、小天体(質量 $m$、$m\ll M$ で恒星は動かないとする)が通り過ぎる。小天体は無限遠では速さ $v_{\infty }$ を持ち、もし恒星の引力がなければ、恒星の中心から距離 $b$(衝突径数)だけ離れた直線上を等速で通り過ぎるはずであった。引力を受けた実際の軌道での、恒星への最接近距離 $r_{\min }$ を求めたい。万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準に $U=-\frac{GMm}{r}$ とする。

(1) 無限遠での角運動量を $b$ を使って、最接近点での角運動量を $r_{\min }$ を使って表し、両者が等しいことから最接近点の速さ $v_{\min }$ を表せ。

(2) エネルギー保存と (1) を連立して、$r_{\min }$ を求めよ。

(3) とくに $v_{\infty }^2=\frac{GM}{b}$ のとき、$r_{\min }$ を $b$ で表せ。