第 1 宇宙速度

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 地表すれすれを回る衛星は、重力を向心力として使い切って落ち続けながら回っている。運動方程式は重力=向心力の 1 本である。

① 運動方程式。

$$mg=\frac{m{v}^2}{R}⟹v=\sqrt{gR}$$

② 数値を入れる。

$$v=\sqrt{9.8\times 6.4\times 10^6}=\sqrt{62.72\times 10^6}=7.9\times 10^{3}m/s$$

約 7.9 km/s(時速 2.8 万 km)。

まとめ これより遅いと地面に落ち、これで水平に投げ出せば「落ち続けても地面が先に曲がって逃げる」——軌道に乗る。ニュートンが『プリンキピア』で描いた「山頂から砲弾を打つ思考実験」の答えがこの $7.9km/s$ である。$\sqrt{gR}$ という組み合わせは、$g=GM/R^2$ を使えば $\sqrt{GM/R}$ とも書ける。

別解

周期を出して実感するルート。 この衛星の周期は

$$T=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\times 3.14\times 6.4\times 10^6}{7.9\times 10^3}=5.1\times 10^3秒\approx 85分$$

国際宇宙ステーション(高度 400 km)の周期が約 90 分なのはこの計算に対応する。1 時間半で地球 1 周——第 1 宇宙速度のスケール感を、周期でも持っておくとよい。