中心を通らないトンネルでも単振動

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 中心を通るトンネルなら重力がそのまま復元力になり単振動——これは有名。問題は 中心を通らない ときも同じかどうかである。

重力は必ず中心を向く。だからトンネルに対して斜めにはたらく。そこで重力を トンネルに平行な成分と垂直な成分に分解 する。垂直成分は壁が受け止めるので運動には効かない。

運動を決めるのは平行成分だけ。これを $x$ で表したとき、距離 $b$ が消えて $-(g/R)x$ の形になれば、$b$ によらず単振動だと分かる。

① 力のトンネル方向成分。 物体の位置を、トンネルの中央(中心に最も近い点)から測って $x$ とする。中心からの距離は三平方の定理で

$$r=\sqrt{x^2+b^2}$$

重力の大きさは $\frac{g}{R}r$ で中心向き。トンネル方向の成分は、この力に $\frac{x}{r}$(方向余弦)を掛けたもの。

$$F_{\parallel }=\frac{g}{R}r\cdot \frac{x}{r}=\frac{g}{R}x$$

向きは中央($x=0$)に引き戻す向きである。ここで $r$ がきれいに約分され、$b$ が消えたことが決定的。

② 単振動の証明と周期。 中央向きを負にとって運動方程式を書くと

$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{mg}{R}x$$

したがって単振動であり、

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$$

③ 周期は $b$ によるか。 復元力の係数 $\frac{g}{R}$ に $b$ が入っていないので、周期は $b$ に よらない。中心を通るトンネル($b=0$)でも、少しずれたトンネルでも、片道の時間はどこでも同じ約 42 分になる。

まとめ 「中心を向く重力を、進む方向へ射影する」と距離 $b$ が消え、どんな弦トンネルでも同じ周期の単振動になる。地球上のどの2点を結んでも、重力だけで滑れば所要時間が同じ、という驚きの結論である。

別解

中央に最も近い点=振動中心、と見抜くルート。 トンネル上で中心に最も近い点(中央)では、重力はトンネルに垂直になり、平行成分が 0。ここが「力のつり合う点=振動中心」である。

中心から距離 $r$ の点での平行成分は、幾何的に「中央からの距離 $\times \frac{g}{R}$」に等しい(相似な直角三角形で、$r\cdot \frac{x}{r}=x$)。つまり平行成分は最初から $\frac{g}{R}x$ で、$r$ を計算するまでもない。振動中心と復元力の形さえ見抜けば、周期が $b$ によらないことは即座に分かる。