ケプラーの第 3 法則

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 惑星の周期と軌道の大きさを結ぶのがケプラーの第 3 法則である。遠い惑星ほど、距離の増え方以上に周期が長くなる(道のりが長いうえに、速さも遅くなるから)。

① 比で計算する。

$$\frac{T_B^2}{T_A^2}=\frac{a_B^3}{a_A^3}=4^3=64⟹\frac{T_B}{T_A}=\sqrt{64}=8$$

B の周期は A の 8 倍。

まとめ 「半径 4 倍 → 周期 8 倍」は $4^{3/2}=8$ という2 乗 3 乗の比の計算である。実際の太陽系でも、火星(軌道 1.5 倍)の周期は 1.9 年、木星(5.2 倍)は 11.9 年と、この法則どおりに並ぶ。楕円軌道では「半径」の代わりに軌道長半径 $a$ を使うことも、言葉として押さえておく。

別解

力学から出どころを見るルート(円軌道)。 万有引力が向心力だから $\frac{GMm}{r^2}=\frac{m(2\pi /T{)}^{2}r}{1}$…整理すると

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{r}^3$$

$T^2\propto r^3$ が導かれ、比例定数は中心天体の質量 $M$ だけで決まる。ケプラーの法則は観測から見つかった経験則だが、ニュートン力学から導出できる——物理の統一のドラマがこの 1 行にある。