スイングバイで探査機を加速する

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 惑星の重力で探査機を加速する、という一見不思議な現象。カギは 立場を乗り換える ことにある。

惑星といっしょに動く立場では惑星は静止し、探査機は重力に引かれて近づき、また遠ざかる。重力は保存力だから、遠方まで戻れば速さは行きと同じ。つまりこの立場では 弾性衝突 と同じで速さが保存する。

あとは、その立場での速度を、もとの立場へ 速度の足し算 で戻すだけである。増えたエネルギーは惑星がわずかに失った分から来る。

① 惑星の立場(相対速度)で考える。 もとの立場で、探査機の速度を $+u$、惑星の速度を $-V$(正面から近づくので逆向き)とする。惑星から見た探査機の速度は

$$u-(-V)=u+V=23km/s$$

② はね返り。 惑星の立場ではエネルギーが保存し、探査機は同じ速さで向きだけ反転して戻る。よって惑星から見た速度は

$$-(u+V)=-23km/s$$

③ もとの立場へ戻す。 惑星の速度 $-V$ を足し戻す。

$$v^{\prime }=-(u+V)+(-V)=-(u+2V)$$

大きさは

$$|v^{\prime }|=u+2V=10+2\times 13=36km/s$$

探査機は向きを反転し、速さは $10\to 36km/s$ へ増えた。増えた分の運動エネルギーは、惑星の公転運動からごくわずかに移された。

まとめ スイングバイの正体は「重い相手との弾性衝突」。相対速度で見れば速さは保存し、立場を戻すと惑星の速さの2倍だけ得をする。惑星が探査機に近づく向きに動いているほど加速する。

発展 — 一歩先へ。 有限の質量比で1次元弾性衝突の公式を使い、惑星質量を無限大にする極限をとると、確かに $|v^{\prime }|\to u+2V$ に収束する。反対に、探査機が惑星の後ろから追う向き(同じ向き)に通ると $2V$ だけ 減速 する——これは減速スイングバイとして実際の探査に使われる。

別解

1次元弾性衝突の公式で押し切るルート。 質量 $m$(速度 $+u$)と質量 $M$(速度 $-V$)の弾性衝突で、$m$ の後の速度は

$$v^{\prime }=\frac{(m-M)u+2M(-V)}{m+M}$$

$M\gg m$ とすると分母分子の $m$ が無視でき

$$v^{\prime }\to \frac{-Mu-2MV}{M}=-(u+2V)$$

相対速度の議論と同じ答え $|v^{\prime }|=u+2V=36km/s$ になる。公式を暗記していれば速いが、「なぜ $2V$ 得するのか」は相対速度で見た方が腑に落ちる。