物理 / 円運動と万有引力

向心加速度

★ 基礎向心加速度

問題

半径 $0.50 m$ の円周上を、角速度 $4.0 rad/s$ (速さ $2.0 m/s$ )で等速円運動する物体の加速度の大きさと向きを求めよ。

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「等速なのに加速度?」——速度はベクトルで、向きが刻々変わっている。加速度の公式は rω² と v²/r の 2 つの顔がある。両方で計算して一致を確かめよう。

解答・解説

等速でも向きが変わるので加速度がある。a=rω²=v²/r で、向きは常に中心向き(向心加速度)。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 速さが一定でも速度の向きは変わり続けているから、加速度は 0 ではない。速度ベクトルの変化 $Δ v$ を作図すると、その向きは常に円の中心を向く——これが向心加速度である。

公式向心加速度

a = r ω^{2} = \frac{v ^{2}}{r}

(向きは中心向き)

① 2 つの式で計算する。

$a = r ω^{2} = 0.50 \times 4. 0^{2} = 8.0 m/ s^{2}$

$a = \frac{v ^{2}}{r} = \frac{2. 0 ^{2}}{0.50} = 8.0 m/ s^{2}$

一致した。向きは円の中心向き。

速度は接線方向、加速度はどの瞬間も中心向き

まとめ $r ω^{2}$ と $v^{2} / r$ は $v = r ω$ で結ばれた同じ量の 2 つの顔。角速度がわかっているなら前者、速さがわかっているなら後者と、手持ちの量で使い分ける。「加速度が中心向き」は、次の向心力(中心向きの力が必要)へ直結する。

答

$8.0 m/ s^{2}$ 、円の中心向き

Δv の作図で向きを納得するルート。 短い時間を隔てた 2 点の速度ベクトル(接線方向)を、始点をそろえて描く。 $Δ v = v_{2} - v_{1}$ は 2 つの接線の「開き」を埋める向き——ちょうど中心を指す。

大きさも、速度ベクトルの先端が半径 $v$ の円を角速度 $ω$ で回ると見れば $∣Δ v ∣/Δ t = v ω = r ω^{2}$ 。公式の由来を 1 度この作図で確かめておくと、丸暗記から卒業できる。