物理 / 円運動と万有引力

鉛直面内の円運動(最下点)

★★ 標準鉛直面内の円運動張力

問題

長さ $1.0 m$ の糸の先に質量 $0.50 kg$ の小球をつけ、鉛直面内で円運動させる。最下点での速さが $7.0 m/s$ のとき、最下点での糸の張力を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

最下点を通過する瞬間。糸の張力 T と重力 mg がはたらく

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最下点では、円の中心は小球の真上にある。「中心向きの合力=mv²/r」の式を、上向きを正として立てよう。張力と重力の向きに注意。

解答・解説

最下点では中心が真上。中心向き(上向き)の運動方程式 T−mg=mv²/r を立てる。T=mg+mv²/r。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 鉛直面内の円運動でも、各瞬間の式は中心向きの合力= $\frac{m v ^{2}}{r}$ で変わらない。最下点では中心が真上だから、上向きの張力から下向きの重力を引いた分が向心力になる。

① 運動方程式(最下点、上向き正)。

$T - m g = \frac{m v ^{2}}{r}$

② 解く。

$T = m g + \frac{m v ^{2}}{r} = 0.50 \times 9.8 + \frac{0.50 \times 7. 0 ^{2}}{1.0} = 4.9 + 24.5 = 29.4 N$

まとめ 張力は重力 $4.9 N$ の 6 倍にもなる。最下点は「重力に逆らいながら、さらに向心力も供給する」二重負担の場所で、円運動の糸が切れるならたいてい最下点である。ブランコの鎖が最下点で最も強く張るのと同じ理屈になる。

答

$29.4 N \approx 29 N$ (重力の 6 倍)

遠心力の立場で見るルート。 小球と一緒に回る立場では、外向き(最下点では下向き)の遠心力 $\frac{m v ^{2}}{r} = 24.5 N$ が見える。つり合いは

$T = m g + \frac{m v ^{2}}{r} = 4.9 + 24.5 = 29.4 N$

「重力+遠心力を張力が支える」——回転系の言葉でも同じ式になる。最高点では遠心力が上向きになり、話が逆転する(s07)。