鉛直面内の円運動(最高点の条件)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 最高点では張力も重力も下向き(中心向き)で、2 つ合わせて向心力になる。速さが小さいと必要な向心力 $\frac{m{v}^2}{r}$ が小さくなり、張力が余る——張力は負になれない(糸は押せない)から、$T=0$ が通過の限界である。

① 最高点の運動方程式(下向き=中心向きを正)。

$$T+mg=\frac{m{v}^2}{r}$$

② 限界条件 T=0。

$$mg=\frac{m{v}^2}{r}⟹v=\sqrt{gr}=\sqrt{9.8\times 0.40}=\sqrt{3.92}=1.98\approx 2.0m/s$$

まとめ $v=\sqrt{gr}$ は「重力だけがちょうど向心力をまかなう速さ」である。これより遅いと糸がたるみ、小球は円を離れて放物運動に移る。ちょうど通過=張力(または垂直抗力)が 0——この限界の翻訳は、レールのループ(s08)や半球面(a03)でも同じ形で使う、この単元最重要の考え方である。

別解

遠心力の立場で見るルート。 回る立場では、最高点で上向き(外向き)の遠心力 $\frac{m{v}^2}{r}$ が見える。糸がたるまない条件は、遠心力が重力以上であること:

$$\frac{m{v}^2}{r}\ge mg⟹v\ge \sqrt{gr}$$

「遠心力が重力に勝っていれば張り付いていられる」——バケツの水を回してもこぼれない実験の説明として、この言い方が直感に届きやすい。