物理 / 円運動と万有引力

糸につないだ物体の円運動

★ 基礎向心力張力

問題

なめらかな水平面上で、長さ $0.80 m$ の糸の一端を固定し、他端に質量 $0.50 kg$ の物体をつないで、速さ $4.0 m/s$ で等速円運動させた。糸の張力の大きさを求めよ。

水平面内の円運動。張力 T が向心力の役を果たす

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この物体にはたらく水平方向の力は糸の張力だけ。つまり張力がそのまま向心力の役を務めている。円運動の運動方程式に当てはめよう。

解答・解説

水平面上では張力だけが中心向きの力。張力=向心力=mv²/r。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「向心力の正体は何か」を特定してから式を立てる。水平面内の運動では、重力と垂直抗力は打ち消し合い、中心向きの力は糸の張力だけ。よって張力がまるごと向心力である。

① 運動方程式を立てる。

$T = \frac{m v ^{2}}{r} = \frac{0.50 \times 4. 0 ^{2}}{0.80} = \frac{8.0}{0.80} = 10 N$

まとめ ハンマー投げの選手がワイヤーを強く引き続けるのは、この張力を出し続けるためである。もし糸が切れたら——向心力を失った物体はその瞬間の速度のまま接線方向へ直進する(円の外へ渦巻き状に飛ぶのではない)。「切れたら接線方向」は定番の問いなので、セットで覚えておく。

答

$10 N$

角速度経由のルート。 $ω = \frac{v}{r} = \frac{4.0}{0.80} = 5.0 rad/s$ 。張力は

$T = m r ω^{2} = 0.50 \times 0.80 \times 5. 0^{2} = 10 N$

$m v^{2} / r$ 型と $m r ω^{2}$ 型のどちらでも解けることを、具体例で往復しておくと式の選択に迷わなくなる。